Câu 71 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho phéo vị tự V tâm O, tỉ số k ≠ 1 và phép tịnh tiến T theo vectơ (overrightarrow v  e overrightarrow 0 ) . Gọi F là phép hợp thành của V và T.

a) Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó.

b) Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k

Trả lời:

a) Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ và T biến M’ thành M” thì F biến M thành M”. Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I’ và T biến I’ thành I, khi đó (overrightarrow {OI'}  = koverrightarrow {OI} ) và (overrightarrow {I'I}  = overrightarrow v .)

Từ đó, suy ra (overrightarrow {OI}  - overrightarrow {OI'}  = overrightarrow v  Leftrightarrow overrightarrow {OI}  - koverrightarrow {OI}  = overrightarrow v  Leftrightarrow overrightarrow {OI}  = {{overrightarrow v } over {1 - k}})

Vậy điểm I hoàn toàn xác định.

b) Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ thì (overrightarrow {OM'}  = koverrightarrow {OM} ) , nếu T biến M’ thành M” thì (overrightarrow {M'M'}  = overrightarrow v ) . Từ đó, suy ra (overrightarrow {OM'}  = koverrightarrow {OM} )

(eqalign{  &  Rightarrow overrightarrow {IM'}  - overrightarrow {I{ m{O}}}  = kleft( {overrightarrow {IM}  - overrightarrow {I{ m{O}}} } ight)  cr  &  Rightarrow overrightarrow {IM'}  + overrightarrow {OI} left( {1 - k} ight) = koverrightarrow {IM}  cr} )              (*)

Nhưng từ biểu thức xác định I ta có (overrightarrow {OI} left( {1 - k} ight) = overrightarrow v ).

Ngoài ra, vì (overrightarrow {M'M'}  = overrightarrow v ) nên (overrightarrow {IM'}  - overrightarrow {IM'}  = overrightarrow v ) hay (overrightarrow {IM'}  = overrightarrow {IM'}  - overrightarrow v ).

Vậy đẳng thức (*) trở thành (overrightarrow {IM'}  = koverrightarrow {IM} ).

Do đó, phép F biến M thành M” chính là phép vị tự tâm I tỉ số k.

Sachbaitap.com