Câu 6 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh C, CA = a, CB = b ; mặt bên ABB’A’ là hình vuông. Gọi P là mặt phẳng đi qua C và vuông góc với AB’.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh C, CA = a, CB = b ; mặt bên ABB’A’ là hình vuông. Gọi P là mặt phẳng đi qua C và vuông góc với AB’.

a. Xác định thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi (P). Thiết diện là hình gì ?

b. Tính diện tích thiết diện nói trên.

Giải

a. Kẻ đường cao CH của tam giác vuông ABC thì CH ⊥ AB’ (định lí ba đường vuông góc).

Trong mp(ABB’A’) kẻ đường thẳng Ht vuông góc với AB’. Khi đó (P) chính là mp(CHt).

Chú ý rằng do ABB’A’ là hình vuông nên AB’ ⊥ A’B. Vậy Ht // A’B, từ đó Ht cắt AA’ tại điểm K thuộc đoạn AA’.

Như vậy, thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mp(P) là tam giác CHK.

Do CH ⊥ AB, mp(ABB’A’) ⊥ mp(ABC) nên CH ⊥ (ABB’A’), từ đó tam giác CHK vuông tại H.

b.

(eqalign{  & {S_{CHK}} = {1 over 2}CH.HK  cr  & CH.AB = CA.CB Rightarrow CH = {{ab} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}  cr  & AH.AB = {a^2} Rightarrow AH = {{{a^2}} over {AB}}  cr  & {{HK} over {A'B}} = {{AH} over {AB}}cr& Rightarrow HK = A'B.{{{a^2}} over {A{B^2}}} cr&;;;;;;;;;;;;= {{sqrt {{a^2} + {b^2}} .sqrt 2 {a^2}} over {{a^2} + {b^2}}} = {{{a^2}sqrt 2 } over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }} cr} ) 

Từ đó ({S_{CHK}} = {1 over 2}{{ab} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{{a^2}sqrt 2 } over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }})

Tức là ({S_{CHK}} = {{{a^3}bsqrt 2 } over {2left( {{a^2} + {b^2}} ight)}})

zaidap.com