Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.

Giải

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là hình chiếu của O trên mp(ABC) nên H là trực tâm tam giác ABC. Từ đó HC₁ ⊥ AB (C₁ là giao điểm của CH và AB), suy ra OC₁ ⊥ AB. Như vậy (widehat {O{C_1}H}) là góc giữa mp(OAB) và mp(ABC).

Ta có: ({S_{HAB}} = {S_{OAB}}cos widehat {O{C_1}H})

Mà (widehat {O{C_1}H} = widehat {HOC}) nên ({S_{HAB}} = {S_{OAB}}cos widehat {HOC}.)

Ta lại có : (cos widehat {HOC} = {{OH} over {OC}},{1 over {O{H^2}}} = {1 over {O{A^2}}} + {1 over {O{B^2}}} + {1 over {O{C^2}}})

Từ đó : (cos widehat {HOC} = {{ab} over {sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }})

Mặt khác ({S_{OAB}} = {1 over 2}ab)

Vậy ({S_{HAB}} = {{{a^2}{b^2}} over {2sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }})

Tương tự như trên, ta có :

(eqalign{  & {S_{HBC}} = {{{b^2}{c^2}} over {2sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}  cr  & {S_{HAC}} = {{{c^2}{a^2}} over {2sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} cr} )

zaidap.com