Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng ({sin ^2}alpha  = {sin ^2}eta  + {sin ^2}gamma )

Giải

Kẻ AH ⊥ mp(P) và AI ⊥ BC

Thì (eta  = widehat {ABH},gamma  = widehat {ACH},alpha  = widehat {AIH}.)

Vì ΔABC vuông ở A nên :

(eqalign{  & {1 over {A{I^2}}} = {1 over {A{B^2}}} + {1 over {A{C^2}}}  cr  &  Rightarrow {{A{H^2}} over {A{I^2}}} = {{A{H^2}} over {A{B^2}}} + {{A{H^2}} over {A{C^2}}}  cr  & hay,,{sin ^2}alpha  = {sin ^2}eta  + {sin ^2}gamma  cr} )

zaidap.com