Câu 3 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên cạnh CB và CD, đặt CM =x, CN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên cạnh CB và CD, đặt CM =x, CN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để :

a. Hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45˚ ;

b. Hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

Giải

a. Ta có: AM, AN cùng vuông góc với SA mà (widehat {MAN} le 90^circ ) nên (widehat {MAN}) là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN). Hai mặt phẳng đó tạo với nhau góc 45˚ khi và chỉ khi (widehat {MAN} = 45^circ )

Mặt khác, M ϵ BC, N ϵ CD, (widehat {BAD} = 90^circ ) nên điều

đó xảy ra khi (widehat {BAM} + widehat {DAN} = 45^circ ,)

Từ đó ta có : (1 = {{ an widehat {BAM} + an widehat {DAN}} over {1 - an widehat {BAM}. an widehat {DAN}}},,left( * ight))

(Áp dụng công thức ( an left( {x + y} ight) = {{ an x + an y} over {1 - an x an y}}) )

Vì ( an widehat {BAM} = {{a - x} over a}, an widehat {DAN} = {{a - y} over a},) nên (left( * ight) Leftrightarrow 2{a^2} + xy = 2aleft( {x + y} ight))

Đó là hệ thức liên hệ giữa x và y để các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45˚

b. Ta có: (SAM) ⊥ (ABCD), từ đó nếu (SMN) ⊥ (SAM) thì giao tuyến MN của (SMN) và (ABCD) sẽ vuông góc với (SAM), tức MN ⊥ AM.

Ngược lại, nếu có MN ⊥ AM thì do SA ⊥ MN nên MN ⊥ (SAM), suy ra (SMN) ⊥ (SAM)

Vậy (SAM) ⊥ (SMN) khi và chỉ khi (widehat {AMN} = 90^circ .)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {a^2} + {left( {a - x} ight)^2} + {x^2} + {y^2} = {a^2} + {left( {a - y} ight)^2}  cr  &  Leftrightarrow ay = xleft( {a - x} ight) ext{ với } 0 le x le a,0 le y le a. cr} )

zaidap.com