Câu 54 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao

Cho hai phép vị tự V1 có tâm O1 tỉ số k1 và V2 có tâm O2 tỉ số k2. Gọi F là hợp thành của V1 và V2.

54. Trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao

Cho hai phép vị tự V₁ có tâm O₁ tỉ số k₁ và V₂ có tâm O₂ tỉ số k₂. Gọi F là hợp thành của V₁ và V₂. Chứng minh rằng:

a) F là một phép tịnh tiến nếu k₁k₂ = 1. Hãy xác định vec tơ tịnh tiến.

b) F là một phép vị tự nếu k₁k₂ 1. Hãy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó.

Giải

Lấy một điểm M bất kỳ, nếu V₁ biến M thành M₁ và V₂ biến M₁ thành M₂ thì (overrightarrow {{O_1}{M_1}}  = {k_1}overrightarrow {{O_1}M} ) và (overrightarrow {{O_2}{M_2}}  = {k_2}overrightarrow {{O_2}{M_1}} ).

Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M₂. Gọi I là ảnh của O₁ qua phép vị tự V₂, tức là (overrightarrow {{O_2}I}  = {k_2}overrightarrow {{O_2}{O_1}} ).

Khi đó (overrightarrow {I{M_2}}  = {k_2}overrightarrow {{O_1}{M_1}}  = {k_1}{k_2}overrightarrow {{O_1}M} ).

a) (h.33)

Nếu k₁k₂ = 1 thì (overrightarrow {I{M_2}}  = overrightarrow {{O_1}M} ) nên (overrightarrow {M{M_2}}  = overrightarrow {{O_1}I}  = overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + overrightarrow {{O_2}I}  = left( {1 - {k_2}} ight)overrightarrow {{O_1}{O_2}} ).

Vậy trong trường hợp này F là phép tịnh tiến vectơ (overrightarrow u  = left( {1 - {k_2}} ight)overrightarrow {{O_1}{O_2}} ).

b) (h.34)

Nếu k₁k₂ ( e) 1 ta chọn điểm O₃ sao cho (overrightarrow {{O_3}I}  = {k_1}{k_2}overrightarrow {{O_3}{O_1}} )

Khi đó (overrightarrow {{O_3}{M_2}}  = overrightarrow {{O_3}I}  + overrightarrow {I{M_2}} )

( = {k_1}{k_2}overrightarrow {{O_3}{O_1}}  + {k_1}{k_2}overrightarrow {{O_1}M} )

( = {k_1}{k_2}overrightarrow {{O_3}M} )

Vậy F là phép vị tự tâm O₃ tỉ số ({k_1}{k_2}).

Chú ý rằng tâm O₃ của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức:

(overrightarrow {{O_3}I}  = {k_1}{k_2}overrightarrow {{O_3}{O_1}} )

Hay (overrightarrow {{O_3}{O_1}}  + overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + overrightarrow {{O_2}I}  = {k_1}{k_2}overrightarrow {{O_3}{O_1}} ).

Suy ra: (overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + {k_2}overrightarrow {{O_2}{O_1}}  = left( {1 - {k_1}{k_2}} ight)overrightarrow {{O_1}{O_3}} ).

Do đó: (overrightarrow {{O_1}{O_3}}  = {{1 - {k_2}} over {1 - {k_1}{k_2}}}overrightarrow {{O_1}{O_2}} ).

Cũng chú ý rằng tâm của ba phép vị tự V₁, V₂ và F là ba điểm thẳng hàng O₁, O₂ và O₃.

zaidap.com