Câu 53 trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo) ...
Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo)
Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng (l) cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng (l) theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo)
Giải:
Gọi h1 và h2 là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng(l);
Tổng khoảng cách là S. Vì O là tâm đối xứng của hình vuông.
⇒ OM = ON (tính chất đối xứng tâm)
Suy ra: AM = CN
(widehat {AMP} = widehat {DNS}) (đồng vị)
(widehat {DNS} = widehat {CNR}) (đối đỉnh)
( Rightarrow widehat {AMP} = widehat {CNR})
Suy ra: ∆ APM = ∆ CRN (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ CR = AP = h2
AM = CD ⇒ BM = DN
(widehat {BMQ} = widehat {DNS}) (so le trong)
Suy ra: ∆ BQM = ∆ DSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ = h1
(eqalign{ & {S_{BOA}} = {1 over 4}{S_{AOB}} = {1 over 4}{a^2}(1) cr & {S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} = {1 over 2}{b over 2}.{h_1} + {1 over 2}{b over 2}.{h_2} = {b over 4}left( {{h_1} + {h_2}} ight)(2) cr} )
Từ (1) và (2): ${h_1} + {h_2} = {{{a^2}} over b})
(S = 2left( {{h_1} + {h_2}} ight) = {{2{a^2}} over b})