Câu 53 trang 13 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh

Chứng minh:

a) Số (sqrt 3 ) là số vô tỉ;

b) Các số (5sqrt 2 ); (5sqrt 2 ) đều là số vô tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Giả sử (sqrt 3 ) không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho (sqrt 3  = {a over b}) với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: ({left( {sqrt 3 } ight)^2} = {left( {{a over b}} ight)^2}) hay ({a^2} = 3{b^2}) (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: ({left( {3c} ight)^2} = 3{b^2}) hay ({b^2} = 3{c^2})

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy (sqrt 3 ) là số vô tỉ.

b) *Giả sử (5sqrt 2 ) là số hữu tỉ a, nghĩa là số số hữu tỉ x mà (5sqrt 2  = a.)

Suy ra: (sqrt 2  = {a over 5}) hay (sqrt 2 ) là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì (sqrt 2 ) là số vô tỉ.

Vậy (5sqrt 2 ) là số vô tỉ.

*Giả sử (3 + sqrt 2 ) là số hữu tỉ b, nghĩa là số số hữu tỉ b mà:

(3 + sqrt 2  = b)

Suy ra: (sqrt 2  = b - 3) hay (sqrt 2 ) là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì (sqrt 2 ) là số vô tỉ.

Vậy (3 + sqrt 2 ) là số vô tỉ.

Sachbaitap.net