Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*) ...
Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)
Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)
a. (y=sin x,;y')
b. (y = sin xsin 5x,{y^{left( 4 ight)}})
c. (y = {left( {4 - x} ight)^5},{y^{left( n ight)}})
d. (y = {1 over {2 + x}},{y^{left( n ight)}})
e. (y = {1 over {2x + 1}},{y^{left( n ight)}})
f. (y = {cos ^2}x,{y^{left( {2n} ight)}})
Giải:
a.
(egin{array}{l}
y' = cos x
y" = - sin x
y' = - cos x
end{array})
b.
(egin{array}{l}
y = frac{1}{2}left( {cos 4x - cos 6x}
ight)
y' = - 2sin 4x + 3sin 6x
y" = - 8cos 4x + 18cos 6x
y'" = 32sin 4x - 108sin 6x
{y^{left( 4
ight)}} = 128cos 4x - 648cos 6x
end{array})
c.
(egin{array}{l}
y' = - 5{left( {4 - x}
ight)^4}
y" = 20{left( {4 - x}
ight)^3}
y"' = - 60{left( {4 - x}
ight)^2}
{y^{left( 4
ight)}} = 120left( {4 - x}
ight)
{y^{left( 5
ight)}} = - 120
{y^{left( n
ight)}} = 0,left( {forall n ge 6}
ight)
end{array})
d.
(egin{array}{l}
y = frac{1}{{x + 2}} = {left( {x + 2}
ight)^{ - 1}}
y' = - 1{left( {x + 2}
ight)^{ - 2}}
y" = left( { - 1}
ight)left( { - 2}
ight){left( {x + 2}
ight)^{ - 3}},...
end{array})
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
({y^{left( n
ight)}} = left( { - 1}
ight)left( { - 2}
ight)...left( { - n}
ight).{left( {x + 2}
ight)^{ - n - 1}})
(= {left( { - 1} ight)^n}.frac{{n!}}{{{{left( {x + 2} ight)}^{n + 1}}}})
e.
(egin{array}{l}
y = {left( {2x + 1}
ight)^{ - 1}}
y' = left( { - 1}
ight)left( {2{{left( {2x + 1}
ight)}^{ - 2}}}
ight)
y" = left( { - 1}
ight)left( { - 2}
ight){.2^2}{left( {2x + 1}
ight)^{ - 3}},...
end{array})
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
({y^{left( n ight)}} = {left( { - 1} ight)^n}.frac{{{2^n}.n!}}{{{{left( {2x + 1} ight)}^{n + 1}}}})
f. Ta có:
(egin{array}{l}
y' = - sin 2x
y" = - 2cos 2x
y"' = {2^2}sin 2x
{y^{left( 4
ight)}} = {2^3}cos 2x
{y^{left( 5
ight)}} = - {2^4}sin 2x
{y^{left( 6
ight)}} = - {2^5}cos 2x,...
end{array})
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
({y^{left( {2n} ight)}} = {left( { - 1} ight)^n}{.2^{2n - 1}}cos 2x)
soanbailop6.com
