Câu 51 trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Chứng minh DI.DI=AI.AD.

Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh (D{I^2} = AI.AD).

Giải

Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ABCDE

sđ (overparen{AB}) = sđ (overparen{BC}) = sđ (overparen{CD}) = sđ (overparen{DE}) = sđ (overparen{AE})= 72⁰                        (1)

(widehat {{E_1}} = {1 over 2}) sđ (overparen{AB}) (tính chất góc nội tiếp)     (2)

(widehat {{D_1}} = {1 over 2}) sđ (overparen{AE}) (tính chất góc nội tiếp)           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: (widehat {{E_1}} = widehat {{D_1}})

Xét ∆AIE và ∆AED:

(widehat {{E_1}} = widehat {{D_1}}) (chứng minh trên)

(widehat A) chung

Suy ra: ∆AIE đồng dạng ∆AED (g.g)

({{AI} over {AE}} = {{AE} over {AD}})

( Rightarrow ) AE² = AI. AD     (*)

(widehat {{E_2}} = {1 over 2}) sđ (overparen{BCD}) (tính chất góc nội tiếp) hay (widehat {{E_2}} = {1 over 2}) (sđ (overparen{BC}) + sđ (overparen{CD}))            (4)

(widehat {{I_1}} = {1 over 2}) (sđ (overparen{DE}) + sđ (overparen{AB})) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn)                                 (5)

Từ (1), (4) và (5) suy ra: (widehat {{E_2}} = widehat {{I_1}})

( Rightarrow ) △DEI cân tại D ( Rightarrow ) DE = DI

                DE = AE (gt)

Suy ra: DI = AE    (**)

Từ (*) và (**) suy ra: DI² = AI. AD

Sachbaitap.com