Câu 5 trang 91 Toán Hình 11 Nâng cao, Trong không gian cho tam giác ABC....

Trong không gian cho tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho (overrightarrow {OM}  = overrightarrow {xOA}  + overrightarrow {yOB}  + overrightarrow {zOC} ) với mọi điểm O.

b. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho (overrightarrow {OM}  = overrightarrow {xOA}  + overrightarrow {yOB}  + overrightarrow {zOC} ,) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Giải

a. Vì (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có (overrightarrow {AM}  = loverrightarrow {AB}  + moverrightarrow {AC} )

hay (overrightarrow {OM}  – overrightarrow {OA}  = lleft( {overrightarrow {OB}  – overrightarrow {OA} } ight) + mleft( {overrightarrow {OC}  – overrightarrow {OA} } ight)) với mọi điểm O

tức là (overrightarrow {OM}  = left( {1 – l – m} ight)overrightarrow {OA}  + loverrightarrow {OB}  + moverrightarrow {OC} )

đặt (1 – l – m = x,l = y,m = z) thì (overrightarrow {OM}  = xoverrightarrow {OA}  + yoverrightarrow {OB}  + zoverrightarrow {OC} ) với (x + y + z = 1.)

b. Giả sử (overrightarrow {OM}  = xoverrightarrow {OA}  + yoverrightarrow {OB}  + zoverrightarrow {OC} ) với (x + y + z = 1,) ta có :

(eqalign{  & overrightarrow {OM}  = left( {1 – y – z} ight)overrightarrow {OA}  + yoverrightarrow {OB}  + zoverrightarrow {OC}   cr  & hay,overrightarrow {OM}  – overrightarrow {OA}  = yoverrightarrow {AB}  + zoverrightarrow {AC}   cr  & ext{ tức là }overrightarrow {AM}  = yoverrightarrow {AB}  + zoverrightarrow {AC}  cr} )

Mà (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)