Câu 16 trang 103 SGK Hình 11 Nâng cao, Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c....

 Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.

a. Tính độ dài AD.

b. Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D

c. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).

Giải

a. Ta có: CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)

mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC.

Trong tam giác vuông ABC ta có :

(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {b^2})

Trong tam giác vuông ACD ta có :

(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2})

Suy ra : (AD = sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} )

b. Ta có : (AB ot BC,va,AB ot CD) suy ra AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD.

Gọi I là trung điểm AD ta có IC = IA = IB = ID.

Vậy I cách đều A, B, C, D