Câu 24 trang 111 SGK Hình 11 Nâng cao, Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và...
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.. Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao – Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = ...
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vuông góc với SC, dễ thấy mp(BO1D) vuông góc với SC. Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO1 và DO1. Mặt khác OO1 ⊥ BD, OO1 < OC mà OC = OB nên (widehat {B{O_1}O} > 45^circ .)
Tương tự (widehat {D{O_1}O} > 45^circ ) tức (widehat {B{O_1}D} >90^circ )
Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc (60^circ ) khi và chỉ khi:
(widehat {B{O_1}D} =120^circ ) ( Leftrightarrow) (widehat {B{O_1}O} = 60^circ ) (vì ΔBO1D cân tại O1)
( Leftrightarrow BO = O{O_1} an 60^circ Leftrightarrow BO = O{O_1}sqrt 3 )
Ta lại có : (O{O_1} = OCsin widehat {OC{O_1}} = OCsin widehat {ACS} = OC.{{SA} over {SC}})
Như vậy : (BO = O{O_1}sqrt 3 Leftrightarrow BO = sqrt 3 .OC.{{SA} over {SC}} Leftrightarrow SC = sqrt 3 .SA)
( Leftrightarrow sqrt {{x^2} + 2{a^2}} = sqrt 3 .x Leftrightarrow x = a)
Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚
