Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ ,

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với (alpha ,a,b)là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm (Mleft( {x;y} ight)) thành điểm (M'left( {x';y'} ight)), trong đó

(left{ {matrix{{x' = xcos alpha - ysin alpha + a} cr {y' = xsin alpha + ycos alpha + b} cr} } ight.)

a. Cho hai điểm (Mleft( {{x_1};{y_1}} ight),,Nleft( {{x_2};{y_2}} ight)) và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'

b. Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'

c. Phép F có phải là phép dời hình hay không ?

d. Khi (alpha = 0), chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến

Giải 

a) M’ có tọa độ ({(x_1},{ m{ }}y{_1})) với (left{ {matrix{{x{'_1} = {x_1}cos alpha - {y_1}sin alpha + a} cr {y{'_1} = {x_1}sin alpha + {y_1}cos alpha + b} cr} } ight.)

N’ có tọa độ ({(x_2},{ m{ }}y{_2})) với (left{ {matrix{{x{'_2} = {x_2}cos alpha - {y_2}sin alpha + a} cr {y{'_2} = {x_2}sin alpha + {y_2}cos alpha + b} cr} } ight.)

b) Ta có (d=MN=sqrt {{{left( {{x_1} - {x_2}} ight)}^2} + {{left( {{y_1} - {y_2}} ight)}^2}} )

(eqalign{
& d' = M'N' = sqrt {{{left( {x{'_1} - x{'_2}} ight)}^2} + {{left( {y{'_1} - y{'_2}} ight)}^2}} cr
& = sqrt {{{left[ {left( {{x_1} - {x_2}} ight)cos alpha - left( {{y_1} - {y_2}} ight)sin alpha } ight]}^2} + {{left[ {left( {{x_1} - {x_2}} ight)sin alpha + left( {{y_1} - {y_2}} ight)cos alpha } ight]}^2}} cr
& = sqrt {{{left( {{x_1} - {x_2}} ight)}^2}{{cos }^2}alpha + {{left( {{y_1} - {y_2}} ight)}^2}{{sin }^2}alpha + {{left( {{x_1} - {x_2}} ight)}^2}{{sin }^2}alpha + {{left( {{y_1} - {y_2}} ight)}^2}{{cos }^2}alpha } cr
& = sqrt {{{left( {{x_1} - {x_2}} ight)}^2} + {{left( {{y_1} - {y_2}} ight)}^2}} cr} )

c) Từ câu b suy ra (MN=M'N') do đó (F) là phép dời hình.

d) 

(Khi,,alpha = 0,,, ext{ ta có },,left{ matrix{
x' = x + a hfill cr
y' = y + b hfill cr} ight.)

Vậy (F) là phép tịnh tiến vectơ (overrightarrow u left( {a;b} ight).)

soanbailop6.com