Câu 43 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính góc giữa mp(SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB), (SCD).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc.

Trả lời

 

a) Vì (MN ot AB,SO ot AB) nên (AB ot left( {SMN} ight) Rightarrow left( {SAB} ight) ot left( {SMN} ight)). Vậy góc giữa (SMN) và (SAB) cũng bằng 90°.

Tương tự, góc giữa (SMN) và (SCD) cũng bằng 90°.

Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tùy ý thì (SMN) vuông góc cả với hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Dễ thấy (left( {SAB} ight) cap left( {SC{ m{D}}} ight) = St,St//AB).

Như vậy (St ot left( {SMN} ight)), từ đó (widehat {M{ m{S}}N}) hoặc ({180^0} - widehat {M{ m{S}}N}) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Tính (widehat {M{ m{S}}N}).

Ta có

(S{M^2} = S{N^2} = {h^2} + {a^2} )

(M{N^2} = S{M^2} + S{N^2} - 2{ m{S}}M.SNcos widehat {MSN}  )

(Leftrightarrow 4{a^2} = {h^2} + {a^2} + {h^2} + {a^2} - 2left( {{h^2} + {a^2}} ight)cos widehat {MSN} )

tức là (cos widehat {MSN} = {{2{h^2} - 2{a^2}} over {2left( {{h^2} + {a^2}} ight)}} = {{{h^2} - {a^2}} over {{h^2} + {a^2}}}.)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là α mà (cos alpha  = left| {{{{h^2} - {a^2}} over {{h^2} + {a^2}}}} ight|).

Từ đó hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc khi và chỉ khi h = a.

Sachbaitap.com