Câu 4 trang 160 SGK Đại số 10

Câu 4 trang 160 SGK Đại số 10

Chứng minh các bất đẳng thức:

 Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (5(x-1) < x^5– 1< 5x^4(x-1)), biết (x – 1 > 0)

b) (x^5+ y^5– x^4y – xy^4≥ 0), biết (x + y ≥ 0)

c) (sqrt {4a + 1}  + sqrt {4b + 1}  + sqrt {4c + 1}  < 5) , biết rằng (a, b, c) cùng lớn hơn và (a + b + c = 1)

Trả lời:

a) (x -1 >5 ⇔ x > 1 ⇒ x^4> x^3> x^2> x > 1)

(Rightarrow { m{ }}5{x^4} > { m{ }}{x^4} + { m{ }}{x^3} + { m{ }}{x^2} + { m{ }}x{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} > { m{ }}5)

(Rightarrow { m{ }}5{x^4}left( {x - 1} ight){ m{ }} > { m{ }}left( {x - 1} ight)({ m{ }}{x^4} + { m{ }}{x^3} + { m{ }}{x^2} + { m{ }}x{ m{ }} + { m{ }}1){ m{ }} = { m{ }}{x^5} - 1{ m{ }} > { m{ }}5{ m{ }}left( {x - 1} ight))

b)

({{x^5} + { m{ }}{y^{5}}-{ m{ }}{x^4}y{ m{ }}-{ m{ }}x{y^4} = { m{ }}left( {x{ m{ }} + { m{ }}y} ight)left( {{x^4}-{ m{ }}{x^3}y{ m{ }} + { m{ }}{x^2}{y^2}-{ m{ }}x{y^3} + { m{ }}{y^4}} ight){ m{ }}-{ m{ }}xyleft( {{x^{3}} + { m{ }}{y^3}} ight)})

({ = { m{ }}left( {x{ m{ }} + { m{ }}y} ight){ m{ }}left[ {left( {{ m{ }}{x^4}-{ m{ }}{x^3}y + { m{ }}{x^2}{y^2}-{ m{ }}x{y^3} + { m{ }}{y^4}} ight){ m{ }}-{ m{ }}xyleft( {{x^2}-{ m{ }}xy{ m{ }} + { m{ }}{y^2}} ight)} ight]})

({ = { m{ }}left( {x{ m{ }} + { m{ }}y} ight){ m{ }}left[ {left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} ight){ m{ }} - { m{ }}2xyleft( {{x^2} + {y^2}} ight)} ight]})

({ = { m{ }}left( {x{ m{ }} + { m{ }}y} ight){ m{ }}{{left( {x{ m{ }} - { m{ }}y} ight)}^2}left( {{x^2} + { m{ }}{y^2}} ight){ m{ }} ge { m{ }}0}) do (x + y ≥ 0; (x - y)^2 ≥ 0, x^2 + y^2≥ 0)

c)

(eqalign{
& {(sqrt {4a + 1} + sqrt {4b + 1} + sqrt {4c + 1} )^2} cr
& = 4(a + b + c) + 3 + 2sqrt {4a + 1} sqrt {4b + 1} + 2sqrt {4a + 1} sqrt {4c + 1} + 2sqrt {4b + 1} sqrt {4c + 1} cr
& le 4(a + b + c) + 3 + (4a + 1) + (4b + 1) + (4a + 1) + (4c + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) cr
& le 12(a + b + c) + 9 le 21 le 25 cr
& cr} )

Suy ra Đpcm

loigiahay.com