Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (un)

Bài 4. Cho dãy số (u_n) với  ({u_n} = {n over {{3^n}}})

a. Chứng minh rằng ({{{u_{n + 1}}} over {{u_n}}} le {2 over 3}) với mọi n.

b. Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng (0 < {u_n} le {left( {{2 over 3}} ight)^n}) với mọi n.

c. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn 0.

Giải:

a. Ta có:

(eqalign{
& {{{u_{n + 1}}} over {{u_n}}} = {{n + 1} over {{3^{n + 1}}}}:{n over {{3^n}}} = {1 over 3}.{{n + 1} over n} cr
& = {1 over 3}left( {1 + {1 over n}} ight) le {2 over 3},forall n ge 1. cr} )

b. Rõ ràng (u_n> 0, ∀n ≥ 1).

Ta chứng minh  ({u_n} le {left( {{2 over 3}} ight)^n},,,,left( 1 ight))

+) Với (n = 1) ta có  ({u_1} = {1 over 3} le {2 over 3})

Vậy (1) đúng với (n = 1)

+) Giả sử (1) đúng với (n = k), tức là ta có :

({u_k} le {left( {{2 over 3}} ight)^k})

Khi đó ({u_{k + 1}} le {2 over 3}{u_k}) (theo câu a)

( Rightarrow {u_{k + 1}} le {2 over 3}.{left( {{2 over 3}} ight)^k} = {left( {{2 over 3}} ight)^{k + 1}})

Vậy (1) đúng với (n = k + 1) nên (1) đúng với mọi (n).

c. Ta có:

(0 < {u_n} le {left( {{2 over 3}} ight)^n} Rightarrow left| {{u_n}} ight| le {left( {{2 over 3}} ight)^n})

Mà  (lim {left( {{2 over 3}} ight)^n} = 0 Rightarrow lim left| {{u_n}} ight| = 0 Rightarrow lim {u_n} = 0)

soanbailop6.com