Câu 4.21 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi:

a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi (z = ar z)

b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực: (z =  - {{3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  - 3i}})

Hướng dẫn làm bài

a) Hiển nhiên (z in R) thì (z = ar z) . Ngược lại, giả sử z = a + bi và (z = ar z). Từ đó suy ra

a + bi = a – bi và do đó b = - b hay b = 0.

Vậy (z in R) 

b) Ta có  (z = {{ - 3 - 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  - 3i}}),

suy ra (ar z = overline {({{ - 3 - 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  - 3i}})}  = overline {({{ - 3 - 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}})}  + overline {({{ - 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  - 3i}})} )( = overline {{{ - 3 - 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}}}  + overline {{{ - 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  - 3i}}}  = {{ - 3 + 2isqrt 3 } over {sqrt 2  - 3i}} + {{ - 3 - 2isqrt 3 } over {sqrt 2  + 3i}} = z)

Vậy (z in R).

Sachbaitap.com