Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

Bài 32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

a. (asin x + bcos x) (a và b là hằng số, (a^2+ b^2≠ 0)) ;

b.  ({sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x;)

c.(A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x) (A, B và C là hằng số).

Giải:

a. Ta có:

(eqalign{
& asin x + bcos x = sqrt {{a^2} + {b^2}} left( {{a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + {b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x} ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {{a^2} + {b^2}} left( {sin xcos alpha + sin alpha cos x} ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {{a^2} + {b^2}} sin left( {x + alpha } ight) cr
& left( { ext{ trong đó},sin alpha = {b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }};,cos alpha = {a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} ight) cr} ) 

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của (asin x + bcos x) lần lượt  là :

(sqrt {{a^2} + {b^2}} , ext{ và }, - sqrt {{a^2} + {b^2}} ) 

b. Ta có :

(eqalign{
& {sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x = {1 over 2}sin 2x + {{1 - cos 2x} over 2} + 3.{{1 + cos 2x} over 2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = {1 over 2}sin 2x + cos 2x + 2 cr
& ext{ Ta có },left| {{1 over 2}sin 2x + cos 2x} ight| le sqrt {{{left( {{1 over 2}} ight)}^2} + {1^2}} = {{sqrt 5 } over 2} cr} ) 

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ({sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x) lần lượt là :  

({{sqrt 5 } over 2} + 2, ext{ và }, - {{sqrt 5 } over 2} + 2)

c. Ta có:

(eqalign{
& A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x cr
& = A.{{1 - cos 2x} over 2} + {B over 2}.sin 2x + C.{{1 + cos 2x} over 2} cr
& = {B over 2}.sin 2x + {{C - A} over 2}cos 2x + {{C + A} over 2} = asin 2x + bcos 2x + c cr
& ext{ trong đó},,a = {B over 2},,b = {{C - A} over 2},,c = {{C + A} over 2} cr} ) 

Vậy (A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x) đạt giá trị lớn nhất là :

(sqrt {{a^2} + {b^2}} + c = sqrt {{{{B^2} + {{left( {C - A} ight)}^2}} over 4}} + {{C + A} over 2} = {1 over 2}sqrt {{B^2} + left( {C - A} ight)} + {{C + A} over 2}) và giá trị nhỏ nhất là  ( - {1 over 2}sqrt {{B^2} + {{left( {C - A} ight)}^2}} + {{C + A} over 2}.)

soanbailop6.com