Câu 32 trang 42 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :...
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :. Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản Bài 32 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau : a. (asin x + bcos x) (a và b là hằng số, ...
Bài 32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
a. (asin x + bcos x) (a và b là hằng số, (a^2+ b^2≠ 0)) ;
b. ({sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x;)
c.(A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x) (A, B và C là hằng số).
Giải:
a. Ta có:
(eqalign{
& asin x + bcos x = sqrt {{a^2} + {b^2}} left( {{a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + {b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x}
ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {{a^2} + {b^2}} left( {sin xcos alpha + sin alpha cos x}
ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {{a^2} + {b^2}} sin left( {x + alpha }
ight) cr
& left( { ext{ trong đó},sin alpha = {b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }};,cos alpha = {a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}
ight) cr} )
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của (asin x + bcos x) lần lượt là :
(sqrt {{a^2} + {b^2}} , ext{ và }, – sqrt {{a^2} + {b^2}} )
b. Ta có :
(eqalign{
& {sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x = {1 over 2}sin 2x + {{1 – cos 2x} over 2} + 3.{{1 + cos 2x} over 2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = {1 over 2}sin 2x + cos 2x + 2 cr
& ext{ Ta có },left| {{1 over 2}sin 2x + cos 2x}
ight| le sqrt {{{left( {{1 over 2}}
ight)}^2} + {1^2}} = {{sqrt 5 } over 2} cr} )
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ({sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x) lần lượt là :
({{sqrt 5 } over 2} + 2, ext{ và }, – {{sqrt 5 } over 2} + 2)
c. Ta có:
(eqalign{
& A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x cr
& = A.{{1 – cos 2x} over 2} + {B over 2}.sin 2x + C.{{1 + cos 2x} over 2} cr
& = {B over 2}.sin 2x + {{C – A} over 2}cos 2x + {{C + A} over 2} = asin 2x + bcos 2x + c cr
& ext{ trong đó},,a = {B over 2},,b = {{C – A} over 2},,c = {{C + A} over 2} cr} )
Vậy (A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x) đạt giá trị lớn nhất là :
(sqrt {{a^2} + {b^2}} + c = sqrt {{{{B^2} + {{left( {C – A} ight)}^2}} over 4}} + {{C + A} over 2} = {1 over 2}sqrt {{B^2} + left( {C – A} ight)} + {{C + A} over 2}) và giá trị nhỏ nhất là ( – {1 over 2}sqrt {{B^2} + {{left( {C – A} ight)}^2}} + {{C + A} over 2}.)
