Câu 21 trang 55 SGK Hình 11 Nâng cao , Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR =...

Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD

Giải:

Định lí Menelaus

Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc

phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :

({{MB} over {MC}}.{{NC} over {NA}}.{{PA} over {PB}} = 1)

Áp dụng định lí để giải bài toán

Gọi {I} = PR ∩ AC

Trong mp(ACD) goi {S} = QI ∩ AD

Thì {S} = AD ∩ (PQR)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC

với cát tuyến PRI ta có

({{PA} over {PB}}.{{RB} over {RC}}.{{IC} over {IA}} = 1 Rightarrow 1.2.{{IC} over {IA}} = 1)

( Rightarrow {{IC} over {IA}} = {1 over 2}) ⇒ C là trung điểm của AI.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD

với cát tuyến IQS ta có :

({{IC} over {IA}}.{{QD} over {QC}}.{{SA} over {SD}} = 1 Rightarrow {1 over 2}.1.{{SA} over {SD}} = 1 )

(Rightarrow SA = 2SD,,left( {dpcm} ight))