Câu 19 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tính giới hạn của các hàm số sau :...

Tính giới hạn của các hàm số sau :

a. (mathop {lim }limits_{x o  – 1} {{{x^2} + x + 10} over {{x^3} + 6}})

b. (mathop {lim }limits_{x o  – 5} {{{x^2} + 11x + 30} over {25 – {x^2}}})

c. (mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x – 2} over {{{left( {{x^3} + 2} ight)}^2}}})

d. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{{x^2} + x – 40} over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}})

e. (mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } over {2x + 1}})

f. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {2x + 1} ight)sqrt {{{x + 1} over {2{x^3} + x}}} )

g. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {9{x^2} + 11x – 100} )

h. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {5{x^2} + 1}  – xsqrt 5 } ight))

i. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } {1 over {sqrt {{x^2} + x + 1}  – x}})

Giải:

a. (mathop {lim }limits_{x o  – 1} {{{x^2} + x + 10} over {{x^3} + 6}} = {{1 + left( { – 1} ight) + 10} over { – 1 + 6}} = 2)

b. (mathop {lim }limits_{x o  – 5} {{{x^2} + 11x + 30} over {25 – {x^2}}} = mathop {lim }limits_{x o  – 5} {{left( {x + 5} ight)left( {x + 6} ight)} over {left( {5 – x} ight)left( {5 + x} ight)}} = mathop {lim }limits_{x o  – 5} {{x + 6} over {5 – x}} = {1 over {10}})

c. (mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x – 2} over {{{left( {{x^3} + 2} ight)}^2}}} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{1 + {4 over {{x^4}}} + {1 over {{x^5}}} – {2 over {{x^6}}}} over {{{left( {1 + {2 over {{x^3}}}} ight)}^2}}} = 1)

d. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{{x^2} + x – 40} over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{{1 over {{x^3}}} + {1 over {{x^4}}} – {{40} over {{x^5}}}} over {2 + {7 over x} + {{21} over {{x^5}}}}} =  + infty )

e. Với mọi x < 0, ta có ({1 over x}sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3}  =  – sqrt {2{x^2} + 4 + {3 over {{x^2}}}} )

Do đó :

(eqalign{  & mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } over {2x + 1}} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{{1 over x}sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } over {2 + {1 over x}}}  cr  &  = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{ – sqrt {2{x^2} + 4 + {3 over {{x^2}}}} } over {2 + {1 over x}}} =  – infty  cr} )

f. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {2x + 1} ight)sqrt {{{x + 1} over {2{x^3} + x}}}  = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {{{{{left( {2x + 1} ight)}^2}left( {x + 1} ight)} over {2{x^3} + x}}}  = sqrt 2 )

g. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {9{x^2} + 11x – 100}  = mathop {lim }limits_{x o  + infty } xsqrt {9 + {{11} over x} – {{100} over {{x^2}}}}  =  + infty )

h. (mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {5{x^2} + 1}  – xsqrt 5 } ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {1 over {sqrt {5{x^2} + 1}  + xsqrt 5 }} = 0)

i.

(eqalign{  & mathop {lim }limits_{x o  + infty } {1 over {sqrt {{x^2} + x + 1}  – x}} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{sqrt {{x^2} + x + 1}  + x} over {x + 1}}  cr  &  = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}  + 1} over {1 + {1 over x}}} = 2 cr} )