Câu 20 trang 7 SBT Toán 8 tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:...

Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a. (A = 4x – {x^2} + 3)

b. (B = x – {x^2})

c. (N = 2x – 2{x^2} – 5)

Giải:

a. (A = 4x – {x^2} + 3 = 7 – {x^2} + 4x – 4 = 7 – left( {{x^2} – 4x + 4} ight) = 7 – {left( {x – 2} ight)^2})

Ta có: ({left( {x – 2} ight)^2} ge 0)  

Suy ra: (A = 7 – {left( {x – 2} ight)^2} le 7)

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại (x = 2)

b. (B = x – {x^2})( = {1 over 4} – {x^2} + x – {1 over 4} = {1 over 4} – left( {{x^2} – 2.x.{1 over 2} + {1 over 4}} ight) = {1 over 4} – {left( {x – {1 over 2}} ight)^2})

Vì ({left( {x – {1 over 2}} ight)^2} ge 0) . Suy ra: (B = {1 over 4} – {left( {x – {1 over 2}} ight)^2} le {1 over 4})

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là ({1 over 4}) tại (x = {1 over 2})

c. (N = 2x – 2{x^2} – 5) ( =  – 2left( {{x^2} – x + {5 over 2}} ight) =  – 2left( {{x^2} – 2.x.{1 over 2} + {1 over 4} + {9 over 4}} ight))

   ( =  – 2left[ {{{left( {x – {1 over 2}} ight)}^2} + {9 over 4}} ight] =  – 2{left( {x – {1 over 2}} ight)^2} – {9 over 2})

Vì({left( {x – {1 over 2}} ight)^2} ge 0)  nên( – 2{left( {x – {1 over 2}} ight)^2} le 0)

Suy ra: (N =  – 2{left( {x – {1 over 2}} ight)^2} – {9 over 2} le  – {9 over 2})

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là ( – {9 over 2})  tại (x = {1 over 2})