Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² = 1 thì (|x + y|,, le sqrt 2 )

b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x² + y²  ≥ 9   

Giải

a) Ta có:

(x + y)² = x² + y² + 2xy ≤ x² + y² + x² + y² = 2

⇒ (|x + y|,, le sqrt 2 )

b) Vì 4x – 3y = 15 ( Rightarrow y = {4 over 3}x - 5)

Do đó:

(eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 over 3}x - 5)^2} cr&= {x^2} + {{16} over 9}{x^2} - {{40} over 3}x + 25 cr
& ={{25} over 9}{x^2} - {{40} over 3}x + 25 = {({5 over 3}x - 4)^2} + 9 ge 9 cr} )

Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

a) Ta có:

(eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 cr
& Rightarrow |x + y| le sqrt 2 cr} ) 

b) Ta có:

(eqalign{
& {15^2} = {(4x - 3y)^2} le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) cr
& Rightarrow {x^2} + {y^2} ge {{225} over {25}} = 9 cr} )

soanbailop6.com