Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a) ({1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + {1 over {3.4}} + ...., + {1 over {n(n + 1)}} < 1)

Hướng dẫn: Viết: ({1 over {1.2}} = 1 - {1 over 2};,{1 over {2.3}} = {1 over 2} - {1 over 3};,....,,,)

b) ({1 over {{1^2}}} + {1 over {{2^2}}} + {1 over {{3^2}}} + ...., + {1 over {{n^2}}} < 2)

Đáp án

a) Ta có: ({1 over {k(k + 1)}} = {{(k + 1) - k} over {k(k + 1)}} = {1 over k} - {1 over {k + 1}},,,forall k ge 1)

Do đó:

(eqalign{
& {1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + {1 over {3.4}} + ...., + {1 over {n(n + 1)}} cr&= 1 - {1 over 2} + {1 over 2} - {1 over 3} + ... + {1 over n} - {1 over {n + 1}} cr
& = 1 - {1 over {n + 1}} < 1 cr} ) 

b) Ta có: ({1 over {{k^2}}} < {1 over {k(k - 1)}} Rightarrow {1 over {{k^2}}} < {1 over {k - 1}} - {1 over k},,,(k le 2))

Do đó:

(eqalign{
& {1 over {{1^2}}} + {1 over {{2^2}}} + {1 over {{3^2}}} + ...., + {1 over {{n^2}}}< cr& 1 + (1 - {1 over 2} + {1 over 2} - {1 over 3} + ... + {1 over {n - 1}} - {1 over n}) cr
& Rightarrow {1 over {{1^2}}} + {1 over {{2^2}}} + ... + {1 over {{n^2}}} < 2 - {1 over n} < 2 cr} )

soanbailop6.com