Câu 18 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

Bài 18. Tìm các giới hạn sau :

a.  (lim left( {sqrt {{n^2} + n + 1} - n} ight))

Hướng dẫn : Nhân và chia biểu thức đã cho với  (sqrt {{n^2} + n + 1} + n)

b.  (lim {1 over {sqrt {n + 2} - sqrt {n + 1} }})

Hướng dẫn : Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với  (sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} )

c.  (lim left( {sqrt {{n^2} + n + 2} - sqrt {n + 1} } ight))

d.  (lim {1 over {sqrt {3n + 2} - sqrt {2n + 1} }})

e.  (lim left( {sqrt {n + 1} - sqrt n } ight)n)

f.  (lim {{sqrt {{n^2} + 1} - sqrt {n + 1} } over {3n + 2}})

Giải:

a. Ta có:

(eqalign{
& lim left( {sqrt {{n^2} + n + 1} - n} ight) = lim {{left( {{n^2} + n + 1} ight) - {n^2}} over {sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} cr
& = lim {{n + 1} over {sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} = lim {{nleft( {1 + {1 over n}} ight)} over {nleft( {sqrt {1 + {1 over n} + {1 over {{n^2}}}} + 1} ight)}} cr
& = lim {{1 + {1 over n}} over {sqrt {1 + {1 over n} + {1 over {{n^2}}}} + 1}} = {1 over 2} cr} )

b.

(eqalign{
& lim {1 over {sqrt {n + 2} - sqrt {n + 1} }} = lim {{sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} } over {n + 2 - n - 1}} cr
& = lim left( {sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} } ight) = + infty cr} )

c.

(eqalign{
& lim sqrt {{n^2} + n + 2} - sqrt {n + 1} = lim,n left( {sqrt {1 + {1 over n} + {2 over {{n^2}}}} - sqrt {{1 over n} + {1 over {{n^2}}}} } ight) = + infty cr
& ext{ vì};lim n = + infty ext{ và};lim left( {sqrt {1 + {1 over n} + {2 over {{n^2}}}} - sqrt {{1 over n} + {1 over {{n^2}}}} } ight) = 1 > 0 cr} )

d.

(eqalign{
& lim {1 over {sqrt {3n + 2} - sqrt {2n + 1} }} = lim {{sqrt {3n + 2} + sqrt {2n + 1} } over {3n + 2 - 2n - 1}} cr
& = lim {{sqrt {3n + 2} + sqrt {2n + 1} } over {n + 1}} = lim {{nleft( {sqrt {{3 over n} + {2 over {{n^2}}}} + sqrt {{2 over n} + {1 over {{n^2}}}} } ight)} over {nleft( {1 + {1 over n}} ight)}} cr
& = lim {{sqrt {{3 over n} + {2 over {{n^2}}}} + sqrt {{2 over n} + {1 over {{n^2}}}} } over {1 + {1 over n}}} = 0 cr} )

e.

(eqalign{
& lim left( {sqrt {n + 1} - sqrt n } ight).n cr
& = lim sqrt n .{{sqrt n } over {sqrt {n + 1} + sqrt n }} = lim sqrt n .{1 over {sqrt {1 + {1 over n}} + 1}} = + infty cr
& ext{ vì};lim sqrt n = + infty ; ext{và};lim {1 over {sqrt {1 + {1 over n}} + 1}} = {1 over 2} > 0 cr} )

f.

(eqalign{
& lim {{sqrt {{n^2} + 1} - sqrt {n + 1} } over {3n + 2}} = lim {{nleft( {sqrt {1 + {1 over {{n^2}}}} - sqrt {{1 over n} + {1 over {{n^2}}}} } ight)} over {nleft( {3 + {2 over n}} ight)}} cr
& = lim {{sqrt {1 + {1 over {{n^2}}}} - sqrt {{1 over n} + {1 over {{n^2}}}} } over {3 + {2 over n}}} = {1 over 3}. cr} )

             

soanbailop6.com