Câu 17 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng:

a. (left( {a + b} ight)left( {{a^2} - ab + {b^2}} ight) + left( {a - b} ight)left( {{a^2} + ab + {b^2}} ight) = 2{a^3})

b. (left( {a + b} ight)left[ {{{left( {a - b} ight)}^2} + ab} ight] = left( {a + b} ight)left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} ight] = {a^3} + {b^3})

c. (left( {{a^2} + {b^2}} ight)left( {{c^2} + {d^2}} ight) = {left( {ac + bd} ight)^2} + {left( {ad - bc} ight)^2})

Giải:                                                

a. Biến đổi vế trái:

(eqalign{  & left( {a + b} ight)left( {{a^2} - ab + {b^2}} ight) + left( {a - b} ight)left( {{a^2} + ab + {b^2}} ight)  cr  &  = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3} cr} )

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế phải:

(eqalign{  & left( {a + b} ight)left[ {{{left( {a - b} ight)}^2} + ab} ight] = left( {a + b} ight)left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} ight]  cr  &  = left( {a + b} ight)left( {{a^2} - ab + {b^2}} ight) = {a^3} + {b^3} cr} )

Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế phải:

(eqalign{  & {left( {ac + bd} ight)^2} + {left( {ad - bc} ight)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} - 2abcd + {b^2}{c^2}  cr  &  = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = cleft( {{a^2} + {b^2}} ight) + {d^2}left( {{a^2} + {b^2}} ight)  cr  &  = left( {{a^2} + {b^2}} ight)left( {{c^2} + {d^2}} ight) cr} )

Vế phải bằng vế trái, đẳng  thức được chứng minh.