Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Chứng minh rằng...
Chứng minh rằng . Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Bài 2 . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức : ({2^2} + {4^2} + … + {left( {2n} ight)^2} = {{2nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)} over 3}) ...
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :
({2^2} + {4^2} + … + {left( {2n} ight)^2} = {{2nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)} over 3})
Giải
+) Với (n = 1) ta có ({2^2} = {{2.2.3} over 3}) (đúng).
Vậy (1) đúng với (n = 1)
+) Giả sử (1) đúng với (n = k), tức là ta có :
({2^2} + {4^2} + … + {left( {2k} ight)^2} = {{2kleft( {k + 1} ight)left( {2k + 1} ight)} over 3})
+) Ta chứng minh (1) đúng với (n = k + 1), tức là phải chứng minh :
({2^2} + {4^2} + … + {left( {2k} ight)^2} + {left( {2k + 2} ight)^2} = {{2left( {k + 1} ight)left( {k + 2} ight)left( {2k + 3} ight)} over 3})
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :
(eqalign{
& {2^2} + {4^2} + … + {left( {2k}
ight)^2} + {left( {2k + 2}
ight)^2} cr
& = {{2kleft( {k + 1}
ight)left( {2k + 1}
ight)} over 3} + {left( {2k + 2}
ight)^2} cr
& = {{2left( {k + 1}
ight)left( {2{k^2}+k+ 6k + 6}
ight)} over 3} cr
& = {{2left( {k + 1}
ight)left[ {2kleft( {k + 2}
ight) + 3left( {k + 2}
ight)}
ight]} over 3} cr
& = {{2left( {k + 1}
ight)left( {k + 2}
ight)left( {2k + 3}
ight)} over 3} cr} )
Vậy (1) đúng với (n = k + 1) do đó (1) đúng với mọi (n inmathbb N^*)
