Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

Ta đã biết (cos {pi  over {{2^2}}} = {1 over 2}sqrt 2 .) Chứng minh rằng :

a. (cos {pi  over {{2^3}}} = {1 over 2}sqrt {2 + sqrt 2 } )

b. (cos {pi  over {{2^n}}} = {1 over 2}underbrace {sqrt {2 + sqrt {2 + sqrt {....... + sqrt 2 } } } }_{n - 1, ext{ dấu căn}})   (1)   với mọi số nguyên n ≥ 2.

Giải:

a.

(eqalign{  & {cos ^2}{pi  over {{2^3}}} = {cos ^2}{pi  over 8} = {{1 + cos {pi  over 4}} over 2} = {{1 + {{sqrt 2 } over 2}} over 2} cr&= {{2 + sqrt 2 } over 4}  cr  &  Rightarrow cos {pi  over {{2^3}}} = {1 over 2}sqrt {2 + sqrt 2 }  cr} )

b. Với n = 2 ta có (cos {pi  over 4} = {1 over 2}sqrt 2 ,,left( 1 ight)) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

(cos {pi  over {{2^k}}} = {1 over 2}sqrt {2 + sqrt {2 + ... + sqrt 2 } } ) (k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

(eqalign{  & {cos ^2}{pi  over {{2^{k + 1}}}} = {1 over 2}left( {1 + cos {pi  over {{2^k}}}} ight)  cr  &  = {1 over 2}left( {1 + {1 over 2}sqrt {2 + sqrt {2 + ... + sqrt 2 } } } ight)  cr  &  = {1 over 4}left( {2 + sqrt {2 + sqrt {2 + ... + sqrt 2 } } } ight)  cr  &  Rightarrow cos {pi  over {{2^{k + 1}}}} = {1 over 2}sqrt {2 + sqrt {2 + ... + sqrt 2 } } ,,left( {k, ext{ dấu căn}} ight) cr} )

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với (∀n ≥ 2).

soanbailop6.com