Câu 109 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán 7 tập 1: Chứng minh rằng DE + DF = BH...

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ (BH ot AC). Gọi D là một điểm thuộc cạnh đáy BC. Kẻ ({ m{D}}E ot AC,DF ot AB). Chứng minh rằng DE + DF = BH.

Giải

Kẻ ({ m{DK}} ot { m{BH}})

Ta có: (BH ot ACleft( {gt} ight))

Suy ra: DK // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau)

( Rightarrow widehat {K{ m{D}}B} = widehat C) (hai góc đồng vị)

Vì ∆ABC cân tại A nên (widehat B = widehat C) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: (widehat {K{ m{D}}B} = widehat B)

Xét hai tam giác vuông BFD và DKB, ta có:

            (widehat {BF{ m{D}}} = widehat {DKB} = 90^circ )

            BD cạnh huyền chung

            (widehat {FB{ m{D}}} = widehat {K{ m{D}}B}) (chứng minh trên)  

Suy ra: ∆BFD = ∆DKB (cạnh huyền, góc nhọn)

( Rightarrow ) DF = BK  (hai cạnh tương ứng)                                  (1)

Nối DH. Xét ∆DEH = ∆DKH, ta có:

                (widehat {DEH} = widehat {DKH} = 90^circ )

                DH cạnh huyền chung

               (widehat {EH{ m{D}}} = widehat {K{ m{D}}H}) (hai góc so le trong)

Suy ra: ∆DEH = ∆DKH (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: DE = HK (hai cạnh tương ứng)                              (2)

Mặt khác:   BH = BK + HK                                                  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  DF + DE = BH