Câu 105 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b)

Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b )

a) ({{sqrt a  + sqrt b } over {2sqrt a  - 2sqrt b }} - {{sqrt a  - sqrt b } over {2sqrt a  + 2sqrt b }} - {{2b} over {b - a}} = {{2sqrt b } over {sqrt a  - sqrt b }});

b) (left( {{{asqrt a  + bsqrt b } over {sqrt a  + sqrt b }} - sqrt {ab} } ight){left( {{{sqrt a  + sqrt b } over {a - b}}} ight)^2} = 1.)

Gợi ý làm bài:

a) Ta có:

(eqalign{
& {{sqrt a + sqrt b } over {2sqrt a - 2sqrt b }} - {{sqrt a - sqrt b } over {2sqrt a + 2sqrt b }} - {{2b} over {b - a}} cr
& = {{sqrt a + sqrt b } over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)}} - {{sqrt a - sqrt b } over {2left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} - {{2b} over {b - a}} cr
& = {{{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)}^2} - {{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2}} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} + {{2b} over {left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr
& = {{{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)}^2} - {{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2} + 4b} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr
& = {{a + 2sqrt {ab} + b - a + 2sqrt {ab} - b + 4b} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr
& = {{4sqrt {ab} + 4b} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr
& = {{4sqrt b left( {sqrt a + sqrt b } ight)} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr
& = {{2sqrt b } over {sqrt a - sqrt b }} cr} )

  (với a, b không âm và a ≠b )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b. Ta có:

(eqalign{
& left( {{{asqrt a + bsqrt b } over {sqrt a + sqrt b }} - sqrt {ab} } ight){left( {{{sqrt a + sqrt b } over {a - b}}} ight)^2} cr
& = left( {{{sqrt {{a^3}} + sqrt {{b^3}} } over {sqrt a + sqrt b }} - sqrt {ab} } ight){left[ {{{sqrt a + sqrt b } over {left( {sqrt a + sqrt b } ight)left( {sqrt a - sqrt b } ight)}}} ight]^2} cr
& = left[ {{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)left( {sqrt {{a^2}} - sqrt {ab} + sqrt {{b^2}} } ight)} over {sqrt a + sqrt b }} - sqrt {ab} } ight]{left( {{1 over {sqrt a - sqrt b }}} ight)^2} cr
& = left( {sqrt {{a^2}} - sqrt {ab} + sqrt {{b^2}} - sqrt {ab} } ight){1 over {{{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2}}} cr
& = {{{{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2}} over {{{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2}}} = 1 cr} ) 

 (với a, b không âm và a ≠b  )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Sachbaitap.com