25/05/2018, 13:23

Các không gian Hàm

Chương này là một bước chuẩn bị để dẫn tới các định lý trung tâm của lý thuyết xấp xỉ. Chúng ta sẽ nghiên cứu một số không gian hàm có liên quan đến độ trơn của hàm số, như là: không gian Sobolev, không gian Lipschitz, không gian H lder. ...

Chương này là một bước chuẩn bị để dẫn tới các định lý trung tâm của lý thuyết xấp xỉ. Chúng ta sẽ nghiên cứu một số không gian hàm có liên quan đến độ trơn của hàm số, như là: không gian Sobolev, không gian Lipschitz, không gian Hlder.

Nếu không nói gì khác, ta vẫn xét miền xác định của hàm số là R,R₊,T hoặc [a,b].

Không gian –C(A)

Không gian -C(A) gồm tất cả các hàm thực (hoặc phức), xác định và liên tục trên I -(A) là không gian định chuẩn, với chuẩn

Ký hiệu -C(A) là không gian con của -C(A), gồm tất cả các hàm liên tục đều trên A. Rõ ràng, nếu A = -T hoặc A= [-a,b], thì -C(A) = -C(A) Nếu A compact thì

Không gian C-r(A) gồm tất cả các hàm khả vi liên tục cấp trên A. Các hàm và P -Pxác định bởi

lần lượt là một nửa chuẩn và chuẩn trên C-r(A). Ký hiệu C∞ size 12{ infinity } {}(A) là không gian tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên .

Không gian Lp(A)

Không gian L_p(A) gồm tất cả các hàm f khả tích cấp trên , tức là đại lượng sau là hữu hạn

Khi , L_p(A) là không gian Banach. Với , là không gian phản xạ. Nếu , thì không gian đối ngẫu của L_p(A) là L_p’(A) với

Dạng rời rạc của Lp là gồm các dãy sao cho

Hai bất đẳng thức đặc trưng của không gian L_p(A) là

Nếu , thì từ bất đẳng thức Hlder ta suy ra các phép nhúng liên tục của không gian L_p(A) và :

Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu một vài tính chất cơ bản của không gian Sobolev.

Ta đã biết rằng hàm xác định trên là liên tục tuyệt đối nếu với mọi , tồn tại sao cho với mọi, thì Hàm liên tục tuyệt đối trên khi và chỉ khi tồn tại hầu khắp nơi.

Giả sử là không gian Banach các hàm xác định trên , ký hiệu là không gian tuyến tính các hàm sao cho liên tục tuyệt đối và Nửa chuẩn và chuẩn trên lần lượt là