các hàm kỳ dị: ( Singnlarity Functions )

Ví dụ 4. Biến đổi Fourrier của hàm cổng ( Gating Function ):

Tìm biến đổi của s(t), trong đó:

Hình 2.5 Tín hiệu s(t).

Từ định nghĩa của biến đổi Fourrier.

Hình 2.6 Anh của s(t) trong biến đổi Fourier.

Những hàm thuộc loại trên đây rất phổ biến trong kỷ thuật thông tin. Để tránh lập lại hàm này ta định nghĩa hàm Sa(x) như sau:

Hàm xung lực ( Impulse ).

Bây giờ ta muốn tìm biến đổi Fourrier của 1 hằng, s(t) = A, với mọi t. Ta có thể xem nó là giới hạn của xung g(t) khi anfa --> vôcung. Ta cố gắng theo cách quanh co này, vì kỷ thuật trực tiếp thất bại trong trường hợp này.

Khi áp s(t) = A vào tích phân định nghĩa, ta có:

(2.23)

Tích phân này không hội tụ. Từ (2.6), ta thấy khi anfa --> vôcung , biến đổi Fourrier tiến đến vô cực tại gốc và những điểm cắt trục zero trở nên cách nhau vô cùng lớn. Như vậy, trong giới hạn, chiều cao của biến đổi Fourrier tiến đến vô cực, còn bề rộng thì đến zero. Điều này nghe buồn cười ! Nhưng nó không phải là một hàm thực sự với mọi lúc vì nó không được xác định tại f = 0. Nếu ta có nói bất cứ điều gì về biến đổi Fourrier của một hằng, ta phải thay đổi cách nghĩ.

Sự thay đổi đó bắt đầu bằng cách định nghĩa một “ hàm “ mới đặt tên là xung lực ( mà nó không phải là một hàm thực sự tại mọi lúc ). Ký hiệu là s(t).

Định nghĩa của xung lực được tạo bởi 3 quan sát đơn giản. Hai trong số đó đã nói đến rồi, đó là:

(2.24)

Tính chất thứ 3 là diện tích tổng dưới dạng xung lực là đơn vị:

(2.25)

Vì tất cả diện tích của s(t) tập trung tại một điểm, những giới hạn trên tích phân có thể chuyển về gốc mà không làm thay đổi giá trị của tích phân. Vậy:

(2.26)

Ta có thể thấy rằng tích phân của s(t) là u(t), hàm nấc đơn vị:

(2.27)

Bây giờ ta tính tích phân của một hàm bất kỳ với s(t).

(2.28)

Ở (2.28) ta đã thay s(t) bởi một hàm không đổi, bằng với s(0) mà không làm thay đổi tích phân. Ta nhớ rằng vì s(t) = 0 với mọi t # 0. Vì thế tích của s(t) với một hàm bất kỳ chỉ phụ thuộc trị giá của hàm đó tại t = 0. Với hàm không đổi ( theo thời gian ) được chọn, ta có thể đem nó ra ngoài dấu tích phân.

(2.29)

Đây là một kết quả có ý nghĩa, và nó được xem như là đặc tính mẫu( Sampling Property ) của xung lực.

Nếu đổi các biến số, sẽ có một xung bị dời ( Shifted Impules ) với đặc tính mẫu tương tự.

(2.30)

Hình 2.7 Xung drac bị dời một khoảng t_0.

Hai hình vẽ trên trình bày s(t) và s( t - t₀ ). Mũi tên hướng lên để chỉ trị giá tiến đến vô cực. Số 1 bên cạnh mũi tên để chỉ diện tích toàn phần của xung lực.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:

Giải:

Áp dụng trực tiếp đặc tính mẫu:

Vì xung lực rơi vào khoảng của tích phân: Từ phương trình (2.30)

Xung lực xảy ra ở t = 1, nằm ngoài khoảng của tích phân. Vậy:

s( 1 - t ) rơi tại t = 1 vì đó là giá trị của t làm cho suất bằng zero. Vậy:

* Bây giờ ta tìm biến đổi Fourrier của một xung lực:

* Ta trở lại tính biến đổi của 1 hằng, s(t) = A. Ta dễ thấy là tích phân xác định không hội tụ.

Với f khác 0, tích phân này bị giới hạn bở ia/pi.f.

Với f = 0 tích phân sẽ ?

* Vì tích phân định nghĩa biến đổi Fourrier và tích phân để tính biến đổi ngược thì tương tự, nên ta có thể phỏng đoán rằng biến đổi của một hằng là 1 xung lực. Đó là vì, một xung lực biến đổi thành một hằng, vậy một hằng sẽ biến đổi thành một xung lực.

Ta hãy tìm biến đổi ngược của một xung.

Như vậy, điều phỏng đoán của ta là đúng! Biến đổi ngược của s(f) là một hằng, vậy ta có:

.* Nếu ta biến đổi ngược 1 xung lực bị dời, ta khai triển cặp biến đổi sau:

Biến đổi này được vẽ:

Hình 2.8 Biến đổi Fourier của cos2πf0t.

Hàm nấc đơn vị ( Unit step function ).

Một cặp biến đổi khác mà ta sẽ nói đến, là hàm nấc đơn vị. Ở đây, một lần nữa, ta lại gắn hàm vào định nghĩa của phép biến đổi, tích phân không hội tụ. Ta lại dùng đến kỷ thuật phỏng đoán. Và do sự không liên tục của hàm nấc, kỷ thuật này trở nên có nhiều hy vọng. Phép biến đổi thì tương đối dễ tính khi ta thực hiện như sau:

(2.37)

Trong đó, hàm Sgn được định nghĩa bởi:

Hình 2.9 Tín hiệu của hàm dốc.

Biến đổi của 1/2 là 1/2s(t).

Biến đổi của hàm Sgn(t) có thể tính bằng cách xem nó như là một giới hạn của hàm expo.

Hình 2.10 Hàm sgn(t).

Ta có

Biến đổi của hàm nấc đơn vị được cho bởi phương trình (2.40)

(2.40)