Các dạng đường mặt nước trong kênh lăng trụ

Đối với kênh độ dốc thuận: i > 0

Trường hợp 1: i < i_k nên h₀ > h_k

Khảo sát dấu của (2-51), ta biết h biến thiên trong khoảng (0, ∞), như vậy h chạy từ 0 đến h_k, rồi đến h₀ và ∞, kết hợp với việc xét dấu của tử số TS và mẫu số MS như trên tiến hành lập bảng dưới đây

Bảng 2.1 Biến thiên đường mực nước trường hợp i < i_k

Qua bảng biến thiên trên cuối cùng có 3 dạng đường mực nước ở 3 khu gọi là a_I , b_I và c_I, xét giới hạn của đường các đường mực này:

• Đường mực nước aI là dâng và có bề lõm quay lên trong khoảng (h0,∞), có 2 giới hạn sau:

• Khi h tiến đến ∞, ta tính giới hạn sau:

dhdl size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {} tiến đến i có nghĩa là đường mực nước tiến tới đường nằm ngang.

• Khi h tiến đến h₀, ta tính giới hạn:

dhdl size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {} tiến đến không, từ đó cho thấy đường mực nước nhận đường N-N làm tiệm cận.

Ví dụ về dạng đmn a_I, trong trường hợp có đập tràn trên kênh xem Hình 2-1

• Đường mực nước bI trong khoảng (hk, h0) là hạ và bề lõm quay xuống , có 2 giới hạn sau

• Khi h tiến đến h_k (h → h_k^-), , ta xét giới hạn sau:

lim h → h k dh dl = lim h → h k TS MS = lim h → h k TS 0 = ∞ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{h rightarrow h rSub { size 6{k} } } } { { ital "dh"} over { ital "dl"} } = {"lim"} cSub {h rightarrow h rSub { size 6{k} } } { { size 12{ ital "TS"} } over { size 12{ ital "MS"} } } size 12{ {}= {"lim"} cSub {h rightarrow h rSub { size 6{k} } } { { size 12{ ital "TS"} } over { size 12{0} } } } size 12{ {}= infinity }} {}

dhdl size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {} tiến đến vô cùng lớn, điều này cho thấy khi khoảng cách giữa 2 mặt cắt vô cùng nhỏ vẫn tồn tạichênh lệch mực nước. Do đó đường bI cắt đường K-K và có tiếp tuyến tại điểm cắt vuông góc với đường ấy

• Khi h tiến đến h₀, ta tính giới hạn tương tự như trên cho thấy đường mực nước nhận đường N-N làm tiệm cận

• Đường mực nước cI trong khoảng (0,hk) là dâng và có bề lõm quay lên, có 2 giới hạn sau

• Khi h tiến đến 0, trong trường hợp này dòng chảy xiết (h<h_k), sẽ tồn lớp nước khác không.
• Khi h tiến đến h_k, xét giới hạn tương tự như trên, nhưng đường cI dâng cắt đường K-K và có tiếp tuyến tại điểm cắt vuông góc với đường ấy. Tuy nhiên nếu xét kỹ giới hạn này là h tiến đến bên phải h_k (h → h_k⁺), thì đmn mất liên tục khi đến gần K-K.

Trường hợp1 i < i_k sau khi khảo sát sự tăng giảm và các giới hạn của phương trình (2-51), vẽ các dạng đmn như trong hình (2-6)

• Trường hợp 2: i > i_k nên h₀ < h_k

Tương tự như trường hợp 1, ta có bảng xét dấu của dhdl size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {} là sự biến thiên các dạng đường mực nước.

Bảng 2.2 Biến thiên đường mực nước trường hợp i > i_k

Qua bảng biến thiên ta cũng xét giới hạn từng đmn có tên là a_II , b_II và c_II như sau

• Đường mực nước aII là dâng và bề lõm quay xuống dưới trong khoảng (hk,∞), có 2 giới hạn sau:

• Khi h tiến đến ∞, ta tính giới hạn như trên, kết quả là đường mực nước tiến tới đường nằm ngang.
• Khi h tiến đến h_k (h → h_k^-), ta cũng xét giới hạn như trên, có đường aII cắt đường K-K và có tiếp tuyến tại điểm cắt vuông góc với đường ấy.

• Đường mực nước bII trong khoảng (h0,hk) là hạ và bề lõm quay lên trên, có 2 giới hạn sau

• Khi h tiến đến h_k (h → h_k⁺), đường aII cắt đường K-K và có tiếp tuyến tại điểm cắt vuông góc với đường ấy. Nhưng khi h tiến đến bên phải h_k (h→h_k⁺), thì đmn mất liên tục khi đến gần K-K.
• Khi h tiến đến h₀, đường mực nước nhận đường N-N làm tiệm cận.

• Đường mực nước cII trong khoảng (0,h0) là dâng và bề lõm quay xuống, có 2 giới hạn sau

• Khi h tiến đến 0, trong trường hợp này dòng chảy xiết (h<h_k), sẽ tồn lớp nước khác không.
• Khi h tiến đến h₀, đường mực nước nhận đường N-N làm tiệm cận.

Trường hợp 2 i < i_k sau khi khảo sát sự tăng giảm và các giới hạn của phương trình (2-51), vẽ các dạng đmn như trong (hình 2-7).

• Trường hợp 3: i = i_k nên h₀ = h_k

Tương tự như hai trường hợp, nhưng đặc biệt là h₀ = h_k, nên không có khu b, ta cũng lập bảng xét dấu của dhdl size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {} xem sự biến thiên các dạng đường mực nước.

Bảng 2.2 Biến thiên đường mực nước trường hợp i > i_k

Qua bảng biến thiên ta cũng xét giới hạn từng đmn có tên là a_III và c_III như sau

• Đường mực nước aIII là dâng nhưng nằm ngang trong khoảng (hk,∞), có 2 giới hạn sau:

• Khi h tiến đến ∞, ta tính
• giới hạn như trên, kết quả là đường mực nước tiến tới đường nằm ngang
• Khi h tiến đến h_k=h₀ ta thấy giới hạn là dạng vô định 00 size 12{ { {0} over {0} } } {}. Như vậy, cần phải khử dạng vô định này, để tính gía trị dhdl size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {}, ta tính như sau :

lim h → h k = h 0 dh dl = lim h → h k = h 0 i − J 1 − Fr = lim h → h k = h 0 i − Q 2 A 2 C 2 R 1 − α g Q 2 A 3 B size 12{ {"lim"} cSub { size 8{h rightarrow h rSub { size 6{k} } =h rSub { size 6{0} } } } { { ital "dh"} over { ital "dl"} } = {"lim"} cSub {h rightarrow h rSub { size 6{k} } =h rSub { size 6{0} } } { { size 12{i - J} } over { size 12{1 - ital "Fr"} } } size 12{ {}= {"lim"} cSub {h rightarrow h rSub { size 6{k} } =h rSub { size 6{0} } } { { size 12{i - { {Q rSup {2} } over { size 12{A rSup {2} size 12{C rSup {2} } size 12{R}} } } } } over { size 12{1 - { {α} over {g} } { {Q rSup {2} } over { size 12{A rSup {3} } } } size 12{B}} } } }} {}

Thay các công thức (2-20) và (2-32), chú ý đến công thức về bán kính thuỷ lực và xem gần đúng: P ≈B và C_k ≈C, biến đổi ta được:

lim h → h k = h 0 dh dl = lim h → h k = h 0 i k − A k 2 C k 2 R k i k A 2 C 2 R 1 − A k 3 B k B A 3 = lim h → h k = h 0 i k 1 − A k 2 P k P A 3 1 − A k 3 B k B A 3 = i k size 12{ {"lim"} cSub { size 8{h rightarrow h rSub { size 6{k} } =h rSub { size 6{0} } } } { { ital "dh"} over { ital "dl"} } = {"lim"} cSub {h rightarrow h rSub { size 6{k} } =h rSub { size 6{0} } } { { size 12{i rSub {k} size 12{ - { {A rSub {k} rSup {2} size 12{C rSub {k} rSup {2} } size 12{R rSub {k} } size 12{i rSub {k} }} over { size 12{A rSup {2} size 12{C rSup {2} } size 12{R}} } } }} } over { size 12{1 - { {A rSub {k} rSup {3} } over { size 12{B rSub {k} } } } { { size 12{B} } over { size 12{A rSup {3} } } } } } } size 12{ {}= {"lim"} cSub {h rightarrow h rSub { size 6{k} } =h rSub { size 6{0} } } } size 12{i rSub {k} { { size 12{1 - { {A rSub {k} rSup {2} } over { size 12{P rSub {k} } } } { { size 12{P} } over { size 12{A rSup {3} } } } } } over { size 12{1 - { {A rSub {k} rSup {3} } over { size 12{B rSub {k} } } } { { size 12{B} } over { size 12{A rSup {3} } } } } } } } size 12{ {}=i rSub {k} }} {}

Rỏ ràng ta thấy đường a_III có giới hạn đầu và cuối là các đường nằm ngang và chính bản thân đường a_III có độ cong rất bé, nên thực tế đường a_III được xem là đường nằm ngang.

• Đường mực nước cIII là dâng, trong thực tế có xem là đmn nằm ngang trong khoảng (0,hk ), các giới cũng xét như trên.

Như vậy: ta đã xét 8 loại đường mực nước trường hợp i > 0.

Đối với kênh độ dốc bằng: i = 0

Lúc i = 0, vì không có chảy đều nên không tồn tại dòng chảy đều (không có h₀), chỉ còn lại hai khu b và c. Do đó dòng chảy được là do một nguyên nhân khác chứ không phải do tác dụng của trọng lực.

Ta cũng lập bảng xét dấu như trên, nhưng chú ý là tử số luôn âm vì i=0.

Bảng 2.2 Biến thiên đường mực nước trường hợp i > i_k

Qua bảng biến thiên, xét giới hạn từng của hai đmn là b₀ và c₀ như sau

• Đường mực nước b0 trong khoảng (hk,∞) là hạ và bề lõm quay xuống, có 2 giới hạn sau:

• Khi h tiến đến ∞, thì đường mực nước tiến tới đường nằm ngang, trong thực tế đmn nhận đường nằm ngang làm tiệm cận.
• Khi h tiến đến h_k (h → h_k^-), đường b0 cắt đường K-K và có tiếp tuyến tại điểm cắt vuông góc.

• Đường mực nước c0 trong khoảng (0,hk) là dâng và bề lõm quay lên trên, có 2 giới hạn sau:

• Khi h tiến đến h_k (h → h_k⁺), đường c0 cắt đường K-K và có tiếp tuyến tại điểm cắt vuông góc với đường ấy. Nhưng khi h tiến đến h_k, thì đmn mất liên tục khi đến gần K-K.
• Khi h tiến đến 0, trong trường hợp này dòng chảy xiết (h<h_k), sẽ tồn lớp nước khác không.

Hai dạng đmn trường hợp i=0, thể hiện (hình 2-9).

Kênh dốc nghịch: i < 0.

Cũng như i = 0, ở đây không có đô sâu chảy đều, do đó cũng chỉ có 2 khu c và b.

• Khu b: h > h_K Xét tương tự như trên ta thấy đường mực nước là đường mực nước hạ, gọi là b', có dạng giống như là b₀.

• Khu c: h < h_K

Xét tương tự như trên ta thấy đường mực là đường mực nước dâng, gọi là c’, có dạng giống như là c₀.

Các đmn dốc nghịch thể hiện vẽ ở hình 2-10.

Trên ta đã xét tất cả các loại đường mặt nước có thể xảy ra trong kênh lăng trụ lúc chảy không đều. Xem bảng tóm tắt sau.

Bảng 2-1: Tóm tắt các loại đường mực nước

Trong 12 loại đường mực nước, có 6 đường a_I, b_I, c_I, a_II, b_II , c_II là cơ bản nhất, 6 đường còn lại có thể suy từ 6 đường kia.

Qua các dạng đường mực nước, ta có thể rút ra những kết luận:

1. Ở khu a và c chỉ có thể là đường nước dâng.

2. Ở khu b chỉ có thể là đường nước hạ.

3. Đường mực nước chỉ có thể tiến tới tiệm cận với đường N- N hoặc đường nằm ngang chứ không bao giờ tiệm cận với đường K- K.

4. Đường mặt nước có xu thế cắt đường K-K chứ không bao giờ có xu thế cắt đường N-N. Khi qua đường K-K thì đường mặt nước mất liên tục hoặc đổ trút.

Ghi chú: Ta có thể tóm tắt việc nghiên cứu 12 loại đường mực nước nói trên bằng cách nghiên cứu trên đồ thị, vẽ cho kênh lăng trụ có mặt cắt ngang cho trước và ứng với một lưu lượng Q cho trước.

a. Ta vẽ đồ thị trên đó chú ý 2 đường: đường cong h₀ = f(i) và h = h_k , ta thấy:

• Với h ở cao hơn đường h₀=f(i) thì tử số dương và ngược lại thì tử số âm.
• Với h ở cao hơn đường h=h_k thì mẫu số dương và ngược lại thì mẫu số âm.

Do đó: hai đường h₀=f(i) và h=h_k đã chia đồ thị thành ba khu.

• Khu a: Nước dâng chảy êm.
• Khu c: Nước dâng chảy xiết.
• Khu b: Nước hạ chảy êm và nước hạ chảy xiết.

b. Kẻ đường thẳng đứng i = iK; hai đường thẳng đứng i = 0 và i = iK chia mặt phẳng đồ thị thành năm miền. Kết hợp với ba khu a, b, c ta có đủ 12 đường mặt nước trên đồ thị.

c. Nếu biết tọa độ của một điểm (h, i) trên đồ thị này, sẽ xác định được tên đường mặt nước tương ứng.

Ngoài ra đồ thị này có thể dùng để nghiên cứu hình dạng nối tiếp đường mặt nước khi có độ dốc kênh thay đổi.