Bất đẳng thức

Tính chất bắc cầu

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức được phát biểu như sau:

Với mọi số thực a, b,c:

• Nếu a > b và b > c thì a > c
• Nếu a < b và b < c thì a < c

Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ

Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ được phát biểu như sau:

Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực. Nghĩa là

Với mọi số thực a, b và c:

• Nếu a > b thì a + c > b + c và a - c > b - c
• Nếu a < b thì a + c < b + c và a - c < b - c

Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia

Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau:

Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chía)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực. Cụ thể:

Với mọi số thực a, b và c:

• Nếu c là một số dương và a > b thì a × c > b × c và a/c > b/c
• Nếu c là một số dương và a < b thì a × c < b × c và a/c < b/c
• Nếu c là một số âm và a > b thì a × c < b × c và a/c < b/c
• Nếu c là một số âm và a < b thì a × c > b × c và a/c > b/c

Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức

Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết quả vẫn đúng. Ngược lại nếu ta áp vào hai vế của một bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì lúc ấy ta phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng.

Điều đó có nghĩa là:

1. Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a ≤ b (hoặc a ≥b) và

1. f(x) là hàm đơn điệu tăng thì f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a)≥f(b)) (không đảo chiều)

2. f(x) là hàm đơn điệu giảm thì f(a) ≥ f(b) (hoặc f(a)≤f(b))(đảo chiều)

2. Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a < b (hoặc a > b) và

1. f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì f(a) < f(b) (hoặc f(a)>f(b)) (không đảo chiều)

2. f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì f(a) > f(b) (hoặc f(a)<f(b)) (đảo chiều)

Kiểu ký hiệu ghép nối

Ký hiệu a<b<c có nghĩa là a < b và b < c và do tính chất bắc cầu ta suy ra a < c. Dễ thấy rằng, cũng bằng các tính chất ở phần trên, chúng ta có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/chia cả ba số hạng này với cùng một số khác không và tùy vào dấu của số nhân/chia đó mà ta có đảo chiều bất đẳng thức hay không. Nhưng cần thận trọng vì bạn chỉ có thể làm điều đó với cùng một số, tức là a < b + e < c tương đương với a - e < b < c - e.

Tổng quát hơn, kiểu ký hiệu ghép nối này có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng hạn a1 ≤a2 ≤...≤an có nghĩa là ai≤ai+1 với i = 1,2,...,n-1. Theo tính chất bắc cầu, điều này tương đương với ai≤aj với mọi 1≤i≤j≤n.

Đôi khi, kiểu ký hiệu ghép nối được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong trường hợp này phải hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế cận nhau. Cho ví dụ, a < b > c ≤ d có nghĩa là a < b, b > c và c ≤d. Thường trong toán học, người ta ít xài kiểu ký hiệu này và trong ngôn ngữ lập trình, chỉ có một ít ngôn ngữ như Python cho phép dùng ký hiệu này.