Bài toán tìm đường đi ngắn nhất ( Tiếp )
Bài toán tìm đường đi ngắn nhất (tiếp) Bây giờ ta xét trường hợp riêng thứ hai của bài toán đường đi ngắn nhất, mà để giải nó có thể xây dựng thuật toán với độ phức tạp tính toán O(n 2 ), đó là khi đồ thị không có chu trình (còn trọng số ...
Bài toán tìm đường đi ngắn nhất (tiếp)
Bây giờ ta xét trường hợp riêng thứ hai của bài toán đường đi ngắn nhất, mà để giải nó có thể xây dựng thuật toán với độ phức tạp tính toán O(n2), đó là khi đồ thị không có chu trình (còn trọng số trên các cung có thể là các số thực tuỳ ý). Trước hết ta chứng minh định lý sau.
Định lý 1. Giả sử G là đồ thị không có chu trình. Khi đó các đỉnh của nó có thể đánh số sao cho mỗi cung của đồ thị chỉ hướng từ đỉnh có chỉ số nhỏ hơn đến đỉnh có chỉ số lớn hơn, nghĩa là mỗi cung của nó có sự biểu diễn dưới dạng (v[i], v[j]), trong đó i < j.
Ví dụ 1. Đồ thị trong hình 1 có các đỉnh số thoả mãn điều kiện nêu trong định lý.
Hình 1 Đồ thị không có chu trình.
Để chứng minh định lý ta mô tả thuật toán sau đây, cho phép tìm ra cách đánh số thoả mãn điều kiện định lý.
Procudure Numbering;
(* Đầu vào: Đồ thị có hướng G=(V,E) với n đỉnh không chứa chu trình được cho bởi danh sách kề Ke(v), v ∈ V.
Đầu ra:
Với mỗi đỉnh v ∈ V chỉ số NR [v] thoả mãn:
Với mọi cung (u,v) của đồ thị ta đều có NR [u] < NR [v] *)
Begin
For v ∈ V do Vao[v]:=0; (* Tính Vao[v]=deg - (v) *)
for u ∈ V do
for v ∈ Ke(u) do Vao[v]:=Vao[v]+1;
Queue:= ∅ ;
For v ∈ V do
if Vao[v]=0 then Queue ⇐ v;
num:=0;
while queue <> ∅ do
begin
u ⇐ queue; num:=num+1; NR[u]:=num;
for v ∈ Ke(u) do
begin
Vao[v]:=Vao[v]-1;
If Vao[v]=0 then queue ⇐ v;
end;
end;
End;
Thuật toán được xây dựng dựa trên ý tưởng rất đơn giản sau: rõ ràng trong đồ thị không có chu trình bao giờ cũng tìm được đỉnh có bán bậc vào bằng 0 (không có cung đi vào). Thực vậy, bắt đầu từ đỉnh v1 nếu có cung đi vào nó từ v2 thì ta lại chuyển sang xét đỉnh v2 . Nếu có cung từ v3 đi vào v2, thì ta lại chuyển sang xét đỉnh v3. . .Do đồ thị không có chu trình nên sau một số hữu hạn lần chuyển như vậy ta phải đi đến đỉnh không có cung đi vào. Thoạt tiên, tìm các đỉnh như vậy của đồ thị. Rõ ràng ta có thể đánh số chúng theo thứ tự tuỳ ý bắt đầu từ 1. Tiếp theo, loại bỏ khỏi đồ thị những đỉnh đã được đánh số cùng các cung đi ra khỏi chúng, ta thu được đồ thị mới cũng không có chu trình, và thủ tục được lặp với đồ thị mới này. Quá trình đó sẽ được tiếp tục cho đến khi tất cả các đỉnh của đồ thị được đánh số.
Chú ý:
1) Rõ ràng trong bước khởi tạo ra phải duyệt qua tất cả các cung của đồ thị khi tính bán bậc vào của các đỉnh, vì vậy ở đó ta tốn cỡ O(m) phép toán, trong đó m là số cung của đồ thị. Tiếp theo, mỗi lần đánh số một đỉnh, để thực hiện việc loại bỏ đỉnh đã đánh số cùng với các cung đi ra khỏi nó, chúng ta lại duyệt qua tất cả các cung này. Suy ra để đánh số tất cả các đỉnh của đồ thị chúng ta sẽ phải duyệt qua tất cả các cung của đồ thị một lần nữa. Vậy độ phức tạp của thuật toán là O(m).
2) Thuật toán có thể áp dụng để kiểm tra xem đồ thị có chứa chu trình hay không? Thực vậy, nếu kết thúc thuật toán vẫn còn có đỉnh chưa được đánh số (num<n) thì điều đó có nghĩa là đồ thị chứa chu trình.
Do có thuật toán đánh số trên, nên khi xét đồ thị không có chu trình ta có thể giả thiết là các đỉnh của nó được đánh số sao cho mỗi cung chỉ đi từ đỉnh có chỉ số nhỏ đến đỉnh có chỉ số lớn hơn. Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị không có chu trình được mô tả trong sơ đồ sau đây.
Procedure Critical_Path;
(* Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh nguồn đến tất cả các đỉnh còn lại trên đô thị không có chu trình *)
Đầu vào:
Đồ thị G=(V,E), trong đó V={ v[1], v[2], . . . , v[n]} .
Đối với mỗi cung (v[i], v[j]) ∈ E, ta có i<j.
Đồ thị được cho bởi danh sách kề Ke(v), v ∈ V.
Đầu ra:
Khoảng cách từ v[1] đến tất cả các đỉnh còn lại được ghi trong mảng d[v[i]], i= 2, 3, . . .,n *)
Begin
dv[1]]:=0;
for j:=2 to n do d[v[j]]:=a[v[1], v[j]];
for j:=2 to n do
for v ∈ Ke[v[j]] do d[v]:=min(d[v], d[v[j]]+a[v[j], v]);
End;
Độ phức tạp tính toán của thuật toán là O(m), do mỗi cung của đồ thị phải xét qua đúng một lần.
Các thuật toán được mô tả ở trên thường được ứng dụng vào việc xây dựng những phương pháp giải bài toán điều khiển việc thực hiện những dự án lớn, gọi tắt là PERT (Project Evaluation and Review Technique) hay CDM (Critical path Method). Một ví dụ đơn giản cho ứng dụng này được mô tả trong ví dụ dưới đây.
| Công đoạn | t[i] | Các công đoạn phải được hoàn thành trước nó |
| 1 | 15 | Không có |
| 2 | 30 | 1 |
| 3 | 80 | Không có |
| 4 | 45 | 2, 3 |
| 5 | 124 | 4 |
| 6 | 15 | 2, 3 |
| 7 | 15 | 5, 6 |
| 8 | 19 | 5 |
Ví dụ 2 Việc thi công một công trình lớn được chia thành n công đoạn, đánh số từ 1 đến n. Có một số công đoạn mà việc thực hiện nó chỉ được tiến hành sau khi một sô công đoạn nào đó đã hoàn thành. Đối với mỗi cong đoạn i biết t[i]] là thời gian cần thiết để hoàn thành nó (i=1, 2,. . .,n). Dữ liệu với n=8 được cho trong bảng dưới đây
Giả sử thời điểm bắt đầu tiến hành thi công công trình là 0. Hãy tìm tiến độ thi công công trình (chỉ rõ mỗi công đoạn phải được bắt đầu thực hiện vào thời điểm nào) cho công trình được hoàn thành xong trong thời điểm sớm nhất có thể được.
Ta có thể xây dựng đồ thị có hướng n đỉnh biểu diễn hạn chế về trình tự thực hiện các công việc như sau: Mỗi đỉnh của đồ thị tương ứng với một công việc, nếu công việc i phải được thực hiện trước công đoạn j thì trên đồ thị có cung (i,j), trọng số trên cung này được gán bằng t[i], xem hình 2 dưới đây.
Hình 2 Đồ thị minh hoạ PERT.
Thêm vào đồ thị hai đỉnh 0 và n+1 tương ứng với hai sự kiện đặc biệt: đỉnh 0 tương ứng với công đoạn lễ khởi công, nó phải được thực hiện trước tất cả các công đoạn khác, và đỉnh n+1 tương ứng với công đoạn cắt băng khánh thành công trình, nó phải được thực hiện sau các công đoạn, với t[0]=t[n+1]=0 (trên thực tế chỉ cần nối đỉnh 0 với tất cả các đỉnh có bán bậc bằng 0 và nối tất cả các đỉnh có bán bậc ra bằng 0 với đỉnh n+1). Gọi đồ thị thu được là G. Rõ ràng bài toán đặt ra dẫn về bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 0 đến tất cả các đỉnh còn lại trên đồ thị G. Do đồ thị G rõ ràng là không chứa chu trình, nên để giải bài toán đặt ra có thể áp dụng các thuật toán mô tả trên, chỉ cần đổi dấu tất cả các trọng số trên các cung thành dấu ngược lại, hoặc đơn giản hơn chỉ cần đổi toán tử Min trong thuật toán Critcal_Path thành toán tử Max. Kết thúc thuật toán, chúng ta thu được d[v] là độ dài đường đi dài nhất từ đỉnh 0 đến đỉnh v. Khi đó d[v] cho ta thời điểm sớm nhất có thể bắt đầu thực hiện công đoạn v, nói riêng d[n+1] là thời điểm sớm nhất có thể cắt băng khánh thành, tức là thời điểm sớm nhất có thể hoàn thành toàn bộ công trình.
Cây đường đi dài nhất của bài toán trong ví dụ 2 tìm được theo thuật toán được chỉ ra trong hình 2.
Rõ ràng ta có thể giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh của đồ thị bằng cách sử dụng n lần thuật toán mô tả ở mục trước, trong đó ta sẽ chọn s lần lượt là các đỉnh của đồ thị. Rõ ràng, khi đó ta thu được thuật toán với độ phức tạp O(n4) (nếu sử dụng thuật toán Ford_Bellman) hoặc O(n3) đối với trường hợp trọng số không âm hoặc đồ thị không có chu trình. Trong trường hợp tổng quát, sử dụng thuật toán Ford_Bellman n lần không phải là cách làm tốt nhất. Ở đây ta sẽ mô tả một thuật toán giải bài toán trên với độ phức tạp tính toán O(n3): thuật toán Floyd. Thuật toán được mô tả trong thủ tục sau đây.
Procedure Floyd;
(* Tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh
Đầu vào: Đồ thị cho bởi ma trận trọng số a[i,j], i, j =1, 2,. . ,n.
Đầu ra:
Ma trận đường đi ngắn nhất giữa các cặp đỉnh
d[i,j]=, i,j = 1, 2. . .,n,
trong đó d[i,j] cho độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh i đến đỉnh j.
Ma trận ghi nhận đường đi
p[i,j], i, j = 1, 2.. . , n,
trong đó p[i,j] ghi nhận đỉnh đi trước đỉnh j trong đường đi ngắn nhất từ i đến j. *)
begin
(* Khởi tạo *)
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin
d[i,j]:=a[i.j];
p[i.j]:=i;
end;
(* Bước lặp *)
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if d[i,j]>d[i,k]+d[k,j] then
begin
d[i,j]+d[i,k]+d[k,j];
p[i,j]>p[k,j];
end;
end;
Rõ ràng độ phức tạp tính toán của thuật toán là O(n3).
Kết thúc phần này chúng ra trình bày một cách thể hiện thuật toán Dijkstra trên ngôn ngữ Pascal:
(* CHƯƠNG TRÌNH TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TỪ ĐỈNH S ĐẾN ĐỈNH T THEO THUẬT TOÁN DIJKSTRA *)
uses crt;
const max=50;
var
n, s, t:integer;
chon:char;
Truoc:array[1..max] of byte;
d: array[1..max] of integer;
a: array[1..max,1..max] of integer;
final: array[1..max] of boolean;
procedure Nhapsolieu;
var
f:text;
fname:string;
i,j:integer;
begin
write(‘Vao ten file du lieu can doc:’);
readln(fname);
assign(f,fname);
reset(f);
readln(f,n);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do read(f, a[i,j];
close(f);
end;
procedure Insolieu;
var
i,j:integer;
begin
writeln(‘So dinh cua do thi:’,n);
writeln(‘Ma tran khoang cach:’);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do write(a[i,j]:3,’ ‘);
writeln;
end;
end;
Procedure Inketqua;
Var
i,j:integer;
begin
writeln(‘Duong di ngan nhat tu ‘,s,’ den ‘,t);
write(t,’ → ’);
while i<> s do
begin
i:=Truoc[i];
write(i,’ → ’);
end;
end;
Procedure Dijkstra;
Var
U,v,minp:integer;
Begin
Write(‘Tim duon di tu s=’);Readln(s);Write(‘ den t=’);Readln(t);
For v:=1 to n doBegin
d[v]:=a[s,v];
Truoc[v]:=s;
Filal[v]:=false;
End;
Truoc[s]:=0;D[s]:=0;Final[s]:=true;
While not final[t] do (* Buoc lap *)Begin
{ Tim u la dinh co nhan tam thoi nho nhat }
minp:=maxint;
for v:=1 to n do
if (not final[v]) ans minp>d[v]) then
begin
u:=v; minp:=d[v];
end;
final[u]:=true;
if not final[t] then
for v:=1 to n do
if (not final[v]) and (d[u]+a[u,v]<d[v]) then
begin
d[v]:=d[u]+a[u,v];
Truoc[v]:=u;
end;
End;
end;
Procedure Menu;
Begin
Clrscr;
Writeln(‘1. Nhap du lieu tu file’);
Writeln(‘2. Giai bai toan’);
Writeln(‘3. Ket thuc’);
Writeln(‘---------------------‘);
Write(‘Hay chon chuc nang:’):
End;
(* Chuong trinh chinhs *)
Begin
Repeat
Menu;
Chon:=readkey;
Writeln(chon);
Case chon of
‘1’:Nhapsolieu;
‘2’: begin
Insolieu;
Dijkstra;
Inketqua;
‘3’:exit;
end;
Until false;
End.
Bài tập 1: Di chuyển trên các hình tròn
Cho N hình tròn (đánh số từ 1 đến N). Một người muốn đi từ hình tròn này sang hình tròn khác cần tuân theo qui ước:
- Nếu khoảng cách giữa 2 điểm gần nhất của 2 hình tròn không quá 50 cm thì có thể bước sang.
- Nếu khoảng cách này hơn 50cm và không quá 80cm thì có thể nhảy sang.
- Các trường hợp khác không thể sang được.
Một đường đi từ hình tròn này sang hình tròn khác đuợc gọi là càng "tốt" nếu số lần phải nhảy là càng ít. Hai đường đi có số lần nhảy bằng nhau thì đường đi nào có số hình tròn đi qua ít hơn thì đường đi đó "tốt" hơn.
Các hình tròn được cho trong một file văn bản, trong đó dòng thứ i mô tả hình tròn số hiệu i (i = 1, 2,..., N) bao gồm 3 số thực: hoành độ tâm, tung độ tâm, độ lớn bán kính (đơn vị đo bằng mét).
Lập trình đọc các hình tròn từ một file văn bản (tên file vào từ bàn phím), sau đó cứ mỗi lần đọc số hiệu hình tròn xuất phát S và hình tròn kết thúc T từ bàn phím, chương trình sẽ đưa ra đường đi từ S đến T là "tốt nhất" theo nghĩa đã nêu (hoặc thông báo là không có).
Yêu cầu đường đi được viết dưới dạng một dãy các số hiệu hình tròn lần lượt cần được đi qua trong đó nói rõ tổng số các bước nhảy, tổng số các hình tròn đi qua và những bước nào cần phải nhảy.
Giới hạn số hình tròn không quá 100.
Bài tập 2: Tìm hành trình tốn ít xăng nhất
Trên một mạng lưới giao thông, một người muốn đi từ điểm A đến điểm B bằng xe máy. Xe chứa được tối đa 3 lít xăng và chạy 100km hết 2,5 lít. Các trạm xăng chỉ được đặt ở các điểm dân cư, không đặt ở giữa đường và người này không mang theo bất kỳ thùng chứa xăng nào khác. Hãy viết chương trình nhập vào mạng lưới giao thông và xác định giúp người này tuyến đường đi từ A đến B sao cho ít tốn xăng nhất.
Bài tập 3: Di chuyển giữa các đảo
Trên một đảo quốc, có N hòn đảo. Giả sử tất cả các đảo đều có hình dạng là hình chữ nhật nằm ngang. Trên mỗi hòn đảo có thể có sân bay nằm ở trung tâm đảo, có thể có cảng nằm ở 4 góc đảo. Trên mỗi đảo đều có tuyến đường xe buýt nối 4 góc đảo với nhau và với trung tâm đảo. Giữa 2 đảo có thể đi lại bằng máy bay nếu cả 2 đảo đều có sân bay và có thể đi lại bằng tàu nếu cả 2 đảo đều có cảng.
Giả sử rằng:
- Các tuyến đường (bộ, không, thủy) đều là đường thẳng.
- Chi phí cho mỗi km và tốc độ của mỗi loại phương tiện là:
| Phương tiện | Tốc độ (km/h) | Chi phí (đ/km) |
| Máy bay | 1000 | 1000 |
| Xe buýt | 70 | 100 |
| Tàu thủy | 30 | 50 |
Hãy viết chương trình xác định tuyến đường và cách di chuyển giữa 2 hòn đảo trong đảo quốc sao cho:
- Thời gian di chuyển ít nhất.
- Chi phí di chuyển ít nhất.
- Thời gian di chuyển ít nhất nhưng với một số tiền chi phí không quá Đ đồng.
- Chi phí di chuyển ít nhất nhưng với thời gian di chuyển không vượt quá T giờ.
Bài tập 4: Hành trinh tới y
Các ô tô đi từ các thành phố khác nhau x1, x2,…., xn và cùng tới một địa điểm thống nhất y. Nếu tồn tại đường đi từ xi đến xj thì ta ký hiệu tij là thời gian cần thiết để đi từ xi đến xj, cij là lượng ô tô có thể đi trên con đường đó trong một đơn vị thời gian (cij = 0 nếu không có đường đi), cii là lượng ô tô có thể nghỉ đồng thời ở thành phố xi, ai là số lượng xe ban đầu có ở xi. Hãy tổ chức hành trình sao cho trong khoảng thời gian t số ô tô tới y là nhiều nhất.
Bài tập 5: Tìm đường ngắn nhất
Giả sử X là tập các khu dân cư, U là tập các đường sá nối liền các khu đó. Ta giả sử mọi chỗ giao nhau của các con đường đều thuộc X. Với con đường u, số l(u) là độ dài của u tính bằng km. Hãy chỉ ra tuyến đường đi từ một khu i sang khu j sao cho tổng chiều dài là nhỏ nhất.
Bài tập 6: Đường đi trên lưới
Cho 1 ma trận A[M, N], mỗi phần tử của nó chứa 1 số tự nhiên. Từ 1 ô (i, j) ta có thể đi sang ô kề nó (có chung 1 cạnh) nếu giá trị của ô kề này nhỏ hơn giá trị lưu trong (i, j). Hãy tìm 1 đường đi từ ô (i, j) tới ô (k, l) trên ma trận sao cho phải đi qua ít ô nhất. Hãy tìm 1 đường đi từ ô (i, j) tới ô (k, l) trên ma trận sao cho tổng giá trị các ô phải đi qua nhỏ nhất.
Bài tập 7 : Tìm đường với chi phí phải trả cho phép
Có N thành phố được đánh số từ 1..N nối với nhau bằng các đoạn đường một chiều. Mỗi đoạn đường bao gồm 2 thông số : Độ dài và chi phí đi của đoạn đường.
A sống tại thành phố 1 và A muốn di chuyển đến thành phố N nhanh nhất có thể.
Bạn hãy giúp A tìm ra đường đi ngắn nhất từ thành phố 1 đến thành phố N mà A có khả năng chi trả tiền.Dữ liệu vào: ROADS.IN
- Dòng đầu tiên chứa số nguyên K, 0 <= K <= 10000, số tiền mà A có.
- Dòng thứ 2 chứa số nguyên N, 2 <= N <= 100, số thành phố.
- Dòng thứ 3 chứa số nguyên R, 1 <= R <= 10000, tổng số đoạn đường.
- Mỗi dòng trong số R dòng tiếp theo mô tả một đoạn đường bằng các số S, D, L và T cách nhau bởi ít nhất một khoảng trắng.
+ S là thành phố khởi hành, 1 <= S <= N.
+ D là thành phố đến, 1 <= D <= N.
+ L là độ dài của đoạn đường, 1 <= L <= 100.
+ T là lộ phí, 0 <= T <= 100.
Chú ý rằng giữa 2 thành phố có thể có nhiều đoạn đường nối 2 thành phố này.
Dữ liệu ra: ROADS.OUT
Chỉ có duy nhất 1 dòng chứa tổng độ dài của đường đi ngắn nhất từ 1->N và nhỏ hơn K.
| ROADS.IN5671 2 2 32 4 3 33 4 2 41 3 4 14 6 2 13 5 2 05 4 3 2ROADS.OUT11 | ROADS.IN0441 4 5 21 2 1 02 3 1 13 4 1 0ROADS.OUT-1 |
