Bài tập 8 - Trang 91 - SGK Hình học 12

Bài tập 8 - Trang 91 - SGK Hình học 12

Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

Bài 8. Cho điểm (M(1 ; 4 ; 2)) và mặt phẳng ((α): x + y + z -1 = 0).

a) Tìm tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (M) trên mặt phẳng ((α)) ;

b) Tìm tọa độ điểm (M') đối xứng với (M) qua mặt phẳng ((α)).

c) Tính khoảng cách từ điểm (M) đến mặt phẳng ((α)).

Giải:

a) Xét đường thẳng (d) qua (M) và (d ⊥ (α)).

Khi đó (H) chính là giao điểm của (d) và ((α)). 

Vectơ (overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)) là vectơ pháp tuyến của ((α)) nên (overrightarrow{n}) là vectơ chỉ phương của (d).

Phương trình tham số của đường thẳng (d) có dạng:    (left{egin{matrix} x=1+t & y=4+t & z=2+t & end{matrix} ight.).

Thay tọa độ (x ; y ; z) của phương trình trên vào phương trình xác định ((α)), ta có:

(3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0)).

b) Gọi (M'(x ; y ; z)) là điểm đối xứng của (M) qua mặt phẳng ((α)), thì hình chiếu vuông góc (H) của (M) xuống ((α)) chính là trung điểm của (MM').

Ta có: 

(frac{x+1}{2}=-1 => x = -3) ;

(frac{y+4}{2}=2   => y = 0) ;

(frac{z+2}{2}=0    => z = -2).

Vậy (M'(-3 ; 0 ;2)).

c) Tính khoảng cách từ điểm (M) đến mặt phẳng ((α)) 

Cách 1: (d(M,(alpha ))=frac{|1+4+2-1|}{sqrt{1+1+1}}=frac{6}{sqrt{3}}=2sqrt{3}).

Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:

     (d(M,(α) )= MH) = (sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2sqrt{3}).

soanbailop6.com