Bài tập 7 - Trang 91 - SGK Hình học 12

Bài tập 7 - Trang 91 - SGK Hình học 12

Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆

Bài 7. Cho điểm (A(1 ; 0 ; 0)) và đường thẳng (∆): (left{egin{matrix} x=2+t & y=1+2t & z=t & end{matrix} ight.).

a) Tìm tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (A) trên đường thẳng (∆).

b) Tìm tọa độ điểm (A') đối xứng với (A) qua đường thẳng (∆).

Giải.

a) Đường thẳng (∆) có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)). (H ∈ ∆) nên (H(2 + t ; 1 + 2t ; t)).

Điểm (H ∈ ∆) là hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆) khi và chỉ khi  (overrightarrow{AH}ot)  (overrightarrow{u}).

Ta có (overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)) nên:

(overrightarrow{AH}) ⊥ (overrightarrow{u})  ⇔ (overrightarrow{u}.overrightarrow{AH}) = 0.

                   ⇔ (1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0)

                   ⇔ (6t + 3 = 0   ⇔ t =  -frac{1}{2}).

                   ⇔ (Hleft (frac{3}{2};0;-frac{1}{2} ight )).

b) Gọi (A') là điểm đối xứng của (A) qua (∆) và (H) là hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆)  thì (H) là trung điểm của (AA'); vì vậy tọa độ của (H) là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của (A) và (A').

Gọi (A'(x ; y ; z)) ta có:

(frac{x+1}{2}=frac{3}{2}  => x = 2; y = 0; z = -1).

Vậy (A'(2 ; 0 ; -1)).

soanbailop6.com