Bài tập 3 - Trang 113 -SGK Giải tích 12

Bài tập 3 - Trang 113 -SGK Giải tích 12

3. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân

Bài 3. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) (int_{0}^{3}frac{x^{2}}{(1+x)^{frac{3}{2}}}dx)      (Đặt (u= x+1)) 

b) (int_{0}^{1}sqrt{1-x^{2}}dx)       (Đặt (x = sint) )

c) (int_{0}^{1}frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx)    (Đặt (u = 1 + x.{e^x}))

d)(int_{0}^{frac{a}{2}}frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx)    (Đặt (x= asint))

Hướng dẫn giải:

a) Đặt (u= x+1 Rightarrow  du =  dx) và (x = u - 1).

Khi (x =0) thì (u = 1, x = 3) thì (u = 4). Khi đó :

(int_{0}^{3}frac{x^{2}}{(1+x)^{frac{3}{2}}}dx) = (int_{1}^{4}frac{(u-1)^{2}}{u^{frac{3}{2}}}du =int_{1}^{4}frac{u^{2}-2u+1}{u^{frac{3}{2}}}du)

= ((frac{2}{3}u^{frac{3}{2}}-4.u^{frac{1}{2}}-2u^{frac{-1}{2}})|_{1}^{4}=frac{5}{3})

b) Đặt (x = sint), (0<t<frac{pi}{2}). Ta có: (dx = costdt)

và (sqrt{1-x^{2}}=sqrt{1-sin^{2}t}= sqrt{cos^{2}t}=left | cost ight |= cos t.)

Khi (x = 0) thì (t = 0), khi (x = 1) thì  (t= frac{pi}{2}) . Khi đó:

(int_{0}^{1}sqrt{1-x^{2}}dx = int_{0}^{frac{pi}{2}}cos^{2}tdt= frac{1}{2}int_{0}^{frac{pi}{2}}(1+cos2t)dt)

(=frac{1}{2}(t+frac{1}{2}sin 2t)|_{0}^{frac{pi}{2}}=frac{1}{2}(frac{pi}{2}-0)= frac{pi}{4})

c) Đặt: (t = 1 + x{e^x} Rightarrow dt = {e^x}(1 + x)dx)

Khi (x = 0 Rightarrow t = 1)

Khi (x = 1 Rightarrow t = 1 + e)

Do đó ta có:

(intlimits_0^1 {{{{e^x}(1 + x)} over {1 + x{e^x}}}dx = intlimits_1^{1 + e} {{{dt} over t} = { m{[}}ln |t|{ m{]}}} } left| {_1^{1 + e} = ln (1 + e)} ight.).

d) Đặt (x = asin t Rightarrow dx = acos tdt)

Đổi cận:

(eqalign{
& x = 0 Rightarrow t = 0 cr
& x = {a over 2} Rightarrow t = {pi over 6} cr} )

Do đó ta có:

(intlimits_0^{{a over 2}} {{1 over {sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx = intlimits_0^{{pi  over 6}} {{{acos tdt} over {sqrt {{a^2} - {a^2}{{sin }^2}t} }} = intlimits_0^{{pi  over 6}} {dt = tleft| {_0^{{pi  over 6}} = {pi  over 6}} ight.} } } ).

soanbailop6.com