Bài 9 trang 69 Sách bài tập Toán Đại số 10: Cho phương trình bậc hai với tham số m...

Cho phương trình bậc hai với tham số m

(3{x^2} – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0)

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Gợi ý làm bài

Hướng dẫn: Trước hết tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm. Sau đó sử dụng định lí Vi – ét.

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức dương. Ta có:

(Delta ‘ = {(m + 1)^2} – 3(3m – 5) = {m^2} – 7m + 16)

Các giá trị m tìm được phải thỏa mãn điều kiện ({m^2} – 7m + 16 > 0) tuy nhiên, trong trường hợp này tam thức bậc hai ({m^2} – 7m + 16 > 0) với mọi m. Xem §5 chương IV).

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm ({x_1},{x_2}) thỏa mãn điều kiện ({x_1} = 3{x_2})

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Theo định lí Vi – ét ta có

({x_1} + {x_2} = {{2(m + 1)} over 3},{x_1}{x_2} = {{3m – 5} over 3})

Từ đó suy ra:

({x_2} = {{m + 1} over 6},3x_2^2 = {{3m – 5} over 3})

Khử ({x_2}) ta được phương trình bậc hai đối với m:

({m^2} – 10m + 21 = 0)

Phương trình cuối có hai nghiệm ({m_1} = 7,{m_2} = 3)

+ Với m = 7 ta được ({x_2} = {4 over 3},{x_1} = 4)

+ Với m = 7 ta được ({x_2} = {2 over 3},{x_1} = 2)