Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2....

Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

 (f(x) = a{ m{[(x}},{ m{ + }}{b over {2a}}{)^2} – {Delta  over {4{a^2}}}{ m{]}})

Hay (af(x) = {a^2}[{(x + {b over {2a}})^2} – {Delta  over {4{a^2}}}])

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) hay af(x) = a²(x – x₁)(x – x₂)

trong đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

Đáp án

Ta có: (af(x) = {a^2}[{(x + {b over {2a}})^2} – {Delta  over {4{a^2}}}])

+ Nếu Δ < 0  thì af(x) > 0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R

+ Nếu Δ = 0 thì (af(x) = {a^2}{(x + {b over {2a}})^{^2}}) khi đó af(x) > 0 với mọi (x e  – {b over {2a}})

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ và:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)

Do đó: af(x) = a²(x – x₁)(x – x₂)

Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x₁)(x – x₂).

Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x₁ < x₂)

Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x₁, x₂)

Và af(x) > 0 với mọi x < x₁ hoặc x > x₂