Bài 5 trang 79 sgk đại số 10

Bài 5 trang 79 sgk đại số 10

Chứng minh rằng:...

Bài 5. Chứng minh rằng

(x^4- sqrt {{x^5}} + x - sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0).

Giải

Đặt (sqrt x = t, x ≥ 0 Rightarrow t ≥ 0).

Vế trái trở thành: ({t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1 = f(t))

+) Nếu (t = 0), hoặc (t = 1) thì (f(t) = 1 >0)

+) Với (0 < t <1),      

(fleft( t ight){ m{ }} = {t^8} + { m{ }}({t^2} - { m{ }}{t^5}) + 1{ m{ }} - { m{ }}t)

       ({t^8} > { m{ }}0;1{ m{ }} - { m{ }}t{ m{ }} > { m{ }}0,;{t^2} - { m{ }}{t^{5}} = {t^3}left( {1{ m{ }}-{ m{ }}t} ight){ m{ }} > { m{ }}0).

Suy ra (f(t) > 0).

+) Với (t > 1) thì (fleft( t ight){ m{ }} = {t^5}({t^3}-{ m{ }}1){ m{ }} + { m{ }}tleft( {t{ m{ }} - { m{ }}1} ight){ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} > { m{ }}0)

Vậy (f(t) > 0 ∀t ≥ 0).

Hay (x^4- sqrt {{x^5}} + x - sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0).

soanbailop6.com