Bài 5.21 trang 223 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường...

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = |x² – 1| và y = 5 + |x|

b) 2y = x² + x – 6  và 2y = -x² + 3x + 6

c) (y = {1 over x} + 1,x = 1) và tiếp tuyến với đường (y = {1 over x} + 1)  tại điểm ((2;{3 over 2}))

Hướng dẫn làm bài:

a) Hai hàm số y = |x² – 1| và y = 5 + |x| đều là hàm số chẵn. Miền cần tính diện tích được thể hiện ở hình 97. Do tính đối xứng qua trục tung, ta có:

(S = 2intlimits_0^3 {(5 + |x| – |{x^2} – 1|)dx})

( = 2left[ {intlimits_0^1 {(5 + x – 1 + {x^2})dx + intlimits_1^3 {(5 + x – {x^2} + 1)dx} } } ight]) 

( = 2left[ {({1 over 3}{x^3} + {1 over 2}{x^2} + 4x)left| {matrix{1 cr 0 cr} + ( – {1 over 3}{x^3} + {1 over 2}{x^2} + 6x)left| {matrix{3 cr 1 cr} } ight.} ight.} ight])

(= 24{1 over 3}) (đơn vị diện tích)

b) Miền cần tính diện tích được thể hiện bởi Hình 98 (học sinh tự làm)

Như vậy, với mọi (x in ( – 2;3))  đồ thị của hàm số (y =  – {1 over 2}{x^2} + {3 over 2}x + 3) nằm phía trên đồ thị của hàm số (y = {1 over 2}{x^2} + {1 over 2}x – 3).

Vậy ta có:

(S = intlimits_{ – 2}^3 {left[ {( – {1 over 2}{x^2} + {3 over 2}x + 3) – ({1 over 2}{x^2} + {1 over 2}x – 3)} ight]} dx)

(= intlimits_{ – 2}^3 {( – {x^2} + x + 6)} dx = 20{5 over 6})  (đơn vị diện tích)

c) Miền cần tính diện tích được thể hiện trên hình:

(S = intlimits_1^2 {left[ {{1 over x} + 1 – ( – {1 over 4}x + 2)} ight]} dx)

(= intlimits_1^2 {({1 over x} + {1 over 4}x – 1)dx = ln 2 – {5 over 8}} )(đơn vị diện tích)

(vì tiếp tuyến với đồ thị của (y = {1 over x} + 1) tại điểm ((2;{3 over 2})) có phương trình là  (y = f'(2)(x – 2) + {3 over 2} =  – {1 over 4}x + 2))