Bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:...

Bài 37. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) (y = x + sqrt {{x^2} – 1} )       b) (y = sqrt {{x^2} – 4x + 3} )
c) (y = sqrt {{x^2} + 4} )              d) (y = {{{x^2} + x + 1} over {{x^2} – 1}})

Gỉải

a) TXĐ: (D = left( { – infty ; – 1} ight] cup left[ {1; + infty } ight))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} – 1} } over x}} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {1 + sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } ight) = 2)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y – 2x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} – 1}  – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1}  + x}} = 0)
Ta có tiệm cận xiên (y = 2x) (khi (x o  + infty ))
* (mathop {lim }limits_{x o  – infty } y = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1}  – x}} = 0)
Ta có tiệm cận ngang (y = 0) (khi (x o  – infty ))
b) TXĐ: (D = left( { – infty ;1} ight] cup left[ {3; + infty } ight))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{sqrt {{x^2} – 4x + 3} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} – 4x + 3}  – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ – 4x + 3} over {sqrt {{x^2} – 4x + 3}  + x}} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ – 4 + {3 over x}} over {sqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  + 1}} =  – 2)
Ta có tiệm cận xiên (y = x -2) (khi (x o  + infty )).
* (a = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{sqrt {{x^2} – 4x + 3} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{ – xsqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} } over x} =  – mathop {lim }limits_{x o  – infty } sqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  =  – 1)

(eqalign{
& b = mathop {lim }limits_{x o – infty } left( {y + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o – infty } left( {sqrt {{x^2} – 4x + 3} + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o – infty } {{ – 4x + 3} over {sqrt {{x^2} – 4x + 3} – x}} = mathop {lim }limits_{x o – infty } {{ – 4x + 3} over { – xsqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} – x}} cr
& ,, = ,,,mathop {lim }limits_{x o – infty } {{ – 4 + {3 over x}} over { – sqrt {1 – {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} – 1}} = {{ – 4} over { – 2}} = 2 cr} )

Tiệm cận xiên: (y = -x + 2) (khi (x o  – infty )).
c) TXD: (D =mathbb R)
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} + 4}  – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {4 over {sqrt {{x^2} + 4}  + x}} = 0)
Tiệm cận xiên (y = x) (khi (x o  + infty ))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  – infty }- sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}}  =  – 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {y + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {sqrt {{x^2} + 4}  + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {4 over {sqrt {{x^2} + 4}  – x}} = 0)
Tiệm cận xiên (y = -x) (khi (x o  – infty ))
d) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { – 1;1} ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} over {1 – {1 over {{x^2}}}}} = 1)
Tiệm cận ngang: (y = 1) (khi (x o  – infty ) và (x o  + infty ))
* (mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x – 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x – 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  – infty ) nên (x = 1) là tiệm cận đứng.
Tương tự: (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} y =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ – }} y =  + infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.