Bài 42 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:...

Bài 42. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)(y = {1 over 3}{x^3} – {x^2} – 3x – {5 over 3})

b) (y = {x^3} – 3x + 1)

c) (y =  – {1 over 3}{x^3} + {x^2} – 2x – {2 over 3})

d) (y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 1)

Gỉải

a) TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x o – infty } y = – infty cr
& y’ = {x^2} – 2x – 3;,,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = 3 hfill cr} ight.;,,yleft( { – 1} ight) = 0;,,yleft( 3 ight) = {{ – 32} over 3} cr} )

Bảng biến thiên:

(y” = 2x – 2;,y” = 0 Leftrightarrow x = 1;,yleft( 1 ight) =  – {{16} over 3})

Xét dấu y”

Điểm uốn (Ileft( {1; – {{16} over 3}} ight))

Điểm đặc biệt: (x = 0 Rightarrow y = {{ – 5} over 3})

Đồ thị: Đồ thị nhận (Ileft( {1; – {{16} over 3}} ight)) làm tâm đối xứng.

b) TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } y = + infty ;,mathop {lim }limits_{x o – infty } y = – infty cr
& y’ = 3{x^2} – 3;,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = 1 hfill cr} ight.;,,yleft( { – 1} ight) = 3;,yleft( 1 ight) = – 1 cr} )

Bảng biến thiên:

(y” = 6x;,y” = 0 Leftrightarrow x = 0;,yleft( 0 ight) = 1)

Xét dấu (y”)

Điểm uốn (I(0;1))

Điểm đặc biệt:(x = 2 Rightarrow y = 3)

Đồ thị: Đồ thị nhận (I(0;1)) làm tâm đối xứng.

c) TXĐ: (D =mathbb R)

(mathop {lim }limits_{x o  + infty } y =  – infty ;,,mathop {lim }limits_{x o  – infty } y =  + infty )

(y’ =  – {x^2} + 2x – 2 < 0) với mọi (x inmathbb R)

Hàm số nghịch biến trên (mathbb R)

Bảng biến thiên:

(y” =  – 2x + 2;,y” = 0 Leftrightarrow x = 1;,yleft( 1 ight) =  – 2)

Xét dấu (y”)

Điểm uốn (I(1;-2))

Điểm đặc biết:(x = 0 Rightarrow y = {{ – 2} over 3})

Đồ thị: Đồ thị nhận (I(1;-2)) làm tâm đối xứng.

d) TXĐ: (D =mathbb R)

(mathop {lim }limits_{x o  + infty } y =  + infty ;,mathop {lim }limits_{x o  – infty } y =  – infty )

(y’ = 3{x^2} – 6x + 3 = 3{left( {x – 1} ight)^2} ge 0) với mọi (x inmathbb R)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi (x = 1)

Hàm số đồng biến trên (mathbb R)

Bảng biến thiên:

Xét dấu (y”)

Điểm uốn (I(1;2))

Điểm đặc biệt: (x = 0 Rightarrow y = 1)

Đồ thị: Đồ thị nhận (I(1;2)) làm tâm đối xứng.