Bài 49 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao , Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :...

Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)

b) f(2) = 6

c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Giải

Giả sử:

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

f(0) = -4 ⇒ c = -4

f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)

Ta có: (x₁ – x₂ )² = 25 ⇔ S² – 4P = 25

Với

(left{ matrix{
S = {x_1} + {x_2} = – {b over a} hfill cr
P = {x_1}{x_2} = {c over a} = {{ – 4} over a} hfill cr} ight.)

Do đó: ({{{b^2}} over {{a^2}}} + {{16} over a} = 25)

(Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2},,,,,(2))

Từ (1) và (2) ta có hệ: 

(left{ matrix{
2a + b = 5 hfill cr
{b^2} + 16a = 25{a^2} hfill cr} ight.)

Hay (b = 5 – 2a) vào (2), ta được:

({(5 – 2a)^2} + 16a = 25{a^2} Leftrightarrow 21{a^2} + 4a – 25 = 0 )

(Leftrightarrow left[ matrix{
a = 1 hfill cr
a = – {{25} over {21}} hfill cr} ight.)

Nếu (a = 1 ⇒ b = 3)

Nếu (a =  – {{25} over {21}} Rightarrow b = {{155} over {21}})

Vậy hàm số (y = x^2+ 3x – 4) và (y =  – {{25} over {21}}{x^2} + {{155} over {21}}x – 4) thỏa mãn yêu cầu bài toán.