Bài 48 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các hệ phương trình sau:...

Giải các hệ phương trình sau:

a)

(left{ matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 hfill cr
xy = 96 hfill cr} ight.)

b)

(left{ matrix{
{x^2} – {y^2} = 55 hfill cr
xy = 24 hfill cr} ight.)

Giải

a) Đặt (S = x + y; P = xy)

Ta có hệ:

(left{ matrix{
{S^2} – 2P = 208 hfill cr
P = 96 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{S^2} = 400 hfill cr
P = 96 hfill cr} ight. )

(Leftrightarrow left[ matrix{
left{ matrix{
S = 20 hfill cr
P = 96 hfill cr} ight. hfill cr
left{ matrix{
S = – 20 hfill cr
P = 96 hfill cr} ight. hfill cr} ight.) 

+ Với (S = 20, P = 96)  thì x, y là nghiệm phương trình:

({X^2} – 20X + 96 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
X = 8 hfill cr
X = 12 hfill cr} ight.) 

Ta có nghiệm ((8, 12)) và ((12, 8))

+ Với (S = -20, P = 96) thì x, y là nghiệm phương trình:

({X^2} + 20X + 96 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
X = – 8 hfill cr
X = – 12 hfill cr} ight.)

Ta có nghiệm ((-8, -12)) và ((-12, -8))

Vậy hệ có 4 nghiệm : ((8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8))

b) Thay (y = {{24} over x}) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :

({x^2} – {{576} over {{x^2}}} = 55 Leftrightarrow {x^4} – 55{x^2} – 576 = 0)

Đặt (t = x^2;(t ≥  0)), ta có phương trình:

({t^2} – 55t – 576 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 64 hfill cr
t = – 9,,,( ext{loại}) hfill cr} ight.)

(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8)

Nếu (x = 8 ⇒ y = 3)

Nếu (x = -8 ⇒  y = -3)

Vậy hệ có hai nghiệm ((8;3)) và ((-8;-3))