Bài 4 trang 44 sách sgk giải tích 12

Bài 4 trang 44 sách sgk giải tích 12

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

Bài 4. Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) ({x^3}-3{x^2} + 5 = 0);      

b) (- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0) ;      

c) (2{x^2}-{x^4} =  - 1).

Giải:

a) Xét hàm số (y ={x^3}-3{x^2} + 5) .

Tập xác định : (mathbb R).

* Sự biến thiên:

(y'{ m{ }} = 3{x^{2}} - { m{ }}6x{ m{ }} = { m{ }}3xleft( {x{ m{ }} - { m{ }}2} ight)); (y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2).

- Hàm số đồng biến trên khoảng ((-infty;0)) và ((2;+infty)); nghịch biến trên khoảng ((0;2)).

- Cực trị: 

     Hàm số đạt cực đạt tại (x=0); (y_{CĐ}=5)

     Hàm số đạt cực tiểu tại (x=2); (y_{CT}=1)

- Giới hạn:   

(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x o - infty } = - infty cr
& mathop {lim y}limits_{x o + infty } = + infty cr} )

Bảng biến thiên:

* Đồ thị 

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;5))

Số nghiệm của phương trình chính là giao của đồ thị hàm số (y ={x^3}-3{x^2} + 5) và trục hoành. Do đó từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Xét hàm số (y =- 2{x^3} + 3{x^2}).

Tập xác định : (mathbb R).

Sự biến thiên:

    (y'= - 6{x^{2  + }}6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1).

- Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;0)) và ((1;+infty)); nghịch biến trên khoảng ((0;1)).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CĐ}=0).

    Hàm số đạt cực tiểu tại (x=1); (y_{CT}=-1)

- Giới hạn: 

(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x o - infty } = - infty cr
& mathop {lim y}limits_{x o + infty } = + infty cr} )

Bảng biến thiên:

* Đồ thị 

Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số (y =- 2{x^3} + 3{x^2}) với đường thẳng (y=2). Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Xét hàm số (y = f(x) =2{x^2}-{x^4})

Tập xác định : (mathbb R).

Sự biến thiên:

(y' = 4x -4{x^{3}} = 4x(1- {x^2})); (y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1).  

- Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;-1)) và ((0;1)), nghịch biến trên khoảng ((-1;0)) và ((1;+infty)).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại hai điểm (x=-1) và (x=1); (y_{CĐ}=1).

    Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}=0)

- Giới hạn:

(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x o - infty } = - infty cr
& mathop {lim y}limits_{x o + infty } = - infty cr} )

Bảng biến thiên:

       

* Đồ thị

                         

Số nghiệm của phương trình là giao của đồ thị hàm số (y = f(x) =2{x^2}-{x^4}) và đường thẳng (y = -1), từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

soanbailop6.com