Bài 39 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải và biện luận các hệ phương trình...

Giải và biện luận các hệ phương trình

a)

(left{ matrix{
x + my = 1 hfill cr
mx – 3my = 2m + 3 hfill cr} ight.)

b)

(left{ matrix{
mx + y = 4 – m hfill cr
2x + (m – 1)y = m hfill cr} ight.)

Giải

a) Ta có:

(eqalign{& D = ,left|matrix{
1 & m cr m & { – 3m} cr} ight |, = – 3m – {m^2} = – m(m + 3) cr & {D_x} = left|matrix{1 & m cr {2m + 3} & { – 3m} cr} ight |, = – 3m – m(2m + 3) cr&;;;;;;= – 2m(m + 3) cr & {D_y} = left|matrix{1 & 1 cr m & {2m + 3} cr} ight  |, = ,2m + 3 – m = m + 3 cr} )

+Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ -3 nên hệ có nghiệm duy nhất là:

(left{ matrix{
x = {{{D_x}} over D} = {{ – 2m(m + 3)} over { – m(m + 3)}} = 2 hfill cr
y = {{{D_y}} over D} = {{m + 3} over { – m(m + 3)}} = – {1 over m} hfill cr} ight.) 

+ Nếu D = 0 

( Leftrightarrow left[ matrix{
m = 0 hfill cr
m = – 3 hfill cr} ight.)

i) Với m = 0, D_y = 3 ≠ 0: hệ vô nghiệm

ii) Với m = -3, hệ trở thành:

(left{ matrix{
x – 3y = 1 hfill cr
– 3x + 9y = – 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow y = {{x – 1} over 3})

Hệ có vô số nghiệm ((x;,{{x – 1} over 3})) ; x ∈ R

b) Ta có:

(eqalign{
& D = ,left|matrix{
m & 1 cr
2 & {m – 1} cr} ight  |, = m(m – 1) – 2 cr&;;;;= {m^2} – m – 2 = (m + 1)(m – 2) cr & {D_x} = ,left|matrix{{4 – m} & 1 cr m & {m – 1} cr} ight  |, = (4 – m)(m – 1) – m cr&;;;;= – {m^2} + 4m – 4 = – {(m – 2)^2} cr & {D_y} = ,left|matrix{m & {4 – m} cr 2 & m cr} ight  |, = ,{m^2} – 2(4 – m)  cr&;;;;= {m^2} + 2m – 8 = (m – 2)(m + 4) cr} )

+ Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 và m ≠ 2 nên hệ có nghiệm duy nhất là:

(left{ matrix{
x = {{{D_x}} over D} = {{ – {{(m – 2)}^2}} over {(m + 1)(m – 2)}} = {{ – m + 2} over {m + 1}} hfill cr
y = {{{D_y}} over D} = {{(m + 4)(m – 2)} over {(m + 1)(m – 2)}} = {{m + 4} over {m + 1}} hfill cr} ight.)

+ Nếu D = 0 ⇔ m = -1 hoặc m = 2

i) m = -1; D_x ≠ 0. Hệ vô nghiệm

ii) m = 2, thế y = 2 – 2x. Hệ có vô số nghiệm (x; 2 – 2x); x ∈ R