Bài 3.65 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)  : ({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4) và đường thẳng  d: x - y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C ’) đối xứng vơi đường tròng (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C ’) và (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.23)

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n  = left( {1; - 1} ight).) Do đó đường thẳng (Delta ) đi qua tâm (Ileft( {1;2} ight)) và vuông góc với d có phương trình :

({{x - 1} over 1} = {{y - 2} over { - 1}} Leftrightarrow x + y - 3 = 0.)

Tọa độ giao điểm H của d và  là nghiệm của hệ phương trình :

(left{ matrix{
x - y - 1 = 0 hfill cr
x + y - 3 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 2 hfill cr
y = 1 hfill cr} ight. Rightarrow Hleft( {2;1} ight))

Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó : 

(left{ matrix{
{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3 hfill cr
{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0 hfill cr} ight. Rightarrow J(3;0).)

Vì (C ’) đối xứng với (C ) qua d nên (C ’) có tâm là (Jleft( {3;0} ight)) và bán kính R = 2. 

Do đó (C ’) có phương trình là : 

({left( {x - 3} ight)^2} + {y^2} = 4)

Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :

(left{ matrix{
{left( {x - 1} ight)^2} + {left( {y - 2} ight)^2} = 4 hfill cr
{left( {x - 3} ight)^2} + {y^2} = 4 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x - y - 1 = 0 hfill cr
{left( {x - 3} ight)^2} + {y^2} = 4 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
y = x - 1 hfill cr
2{x^2} - 8x + 6 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,y = 0 hfill cr
x = 3,y = 2. hfill cr} ight.)

Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).

Sachbaitap.net